ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 2.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) |x|+3x=12;

2) |x|-4x=9;

3) 2(x-5)-6|x|=-18;

4) ||x|-1)|=|x-1|.

1) \( |x| + 3x = 12 \);

если \( x \ge 0 \);    если \( x < 0 \);

\( x + 3x = 12 \quad\quad -x + 3x = 12 \)

\( 4x = 12 \quad\quad\quad\quad 2x = 12 \)

\( x = 3. \quad\quad\quad\quad x = 6 \rightarrow \) не подходит, так как \( x < 0 \).

Ответ: \( x = 3 \).

2) \( |x| — 4x = 9 \);

если \( x \ge 0 \);    если \( x < 0 \);

\( x — 4x = 9 \quad\quad -x — 4x = 9 \)

\( -3x = 9 \quad\quad\quad -5x = 9 \)

\( x = -3 \rightarrow \) не подходит, так как \( x \ge 0 \).    \( x = -1,8 \).

Ответ: \( x = -1,8 \).

3) \( 2(x — 5) — 6|x| = -18 \);

если \( x \ge 0 \);    если \( x < 0 \);

\( 2x — 10 — 6x = -18 \quad\quad 2x — 10 + 6x = -18 \)

\( -4x = -18 + 10 \quad\quad\quad 8x = -18 + 10 \)

\( -4x = -8 \quad\quad\quad\quad\quad 8x = -8 \)

\( x = 2. \quad\quad\quad\quad\quad\quad x = -1 \).

Ответ: \( x = -1 \);  \( x = 2 \).

4) \( ||x| — 1| = |x — 1| \);

\( |x| — 1 = -(x — 1) \quad \) или \( \quad |x| — 1 = x — 1 \)

\( |x| — 1 = -x + 1 \quad\quad\quad |x| — x = 0 \)

\( |x| + x = 2 \)

Рассмотрим уравнение \( |x| + x = 2 \):

если \( x \ge 0 \);    если \( x < 0 \);

\( x + x = 2 \quad\quad\quad -x + x = 2 \)

\( 2x = 2 \quad\quad\quad\quad 0x = 2 \rightarrow \) корней нет.

\( x = 1 \).

Рассмотрим уравнение \( |x| — x = 0 \):

если \( x \ge 0 \);    если \( x < 0 \);

\( x — x = 0 \quad\quad\quad -x — x = 0 \)

\( 0x = 0 \quad\quad\quad\quad -2x = 0 \)

\( x \) — любое число.  \( x = 0 \rightarrow \) не подходит, так как \( x < 0 \).

Ответ: \( x \ge 0 \).

1) Решим уравнение \( |x| + 3x = 12 \)

Сначала разберём два случая в зависимости от знака \(x\):

Случай 1: \( x \ge 0 \)

Если \( x \ge 0 \), то по определению модуля \( |x| = x \). Подставляем в уравнение:

\( x + 3x = 12 \)

Складываем подобные слагаемые:

\( 4x = 12 \)

Делим обе части на 4:

\( x = \frac{12}{4} = 3 \)

Проверка: \( x = 3 \ge 0 \), подходит.

Случай 2: \( x < 0 \)

Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \). Подставляем:

\( -x + 3x = 12 \)

Складываем подобные слагаемые:

\( 2x = 12 \)

Делим на 2:

\( x = \frac{12}{2} = 6 \)

Проверка: \( x = 6 \) не меньше нуля, поэтому не подходит.

Ответ: \( x = 3 \)

2) Решим уравнение \( |x| — 4x = 9 \)

Случай 1: \( x \ge 0 \)

\( |x| = x \), подставляем:

\( x — 4x = 9 \)

\( -3x = 9 \)

\( x = \frac{9}{-3} = -3 \)

Проверка: \( x = -3 \ge 0 \) — неверно, не подходит.

Случай 2: \( x < 0 \)

\( |x| = -x \), подставляем:

\( -x — 4x = 9 \)

\( -5x = 9 \)

\( x = \frac{9}{-5} = -1,8 \)

Проверка: \( x = -1,8 < 0 \), подходит.

Ответ: \( x = -1,8 \)

3) Решим уравнение \( 2(x — 5) — 6|x| = -18 \)

Сначала раскрываем скобки:

\( 2x — 10 — 6|x| = -18 \)

Случай 1: \( x \ge 0 \)

\( |x| = x \), подставляем:

\( 2x — 10 — 6x = -18 \)

Складываем подобные слагаемые:

\( -4x — 10 = -18 \)

Переносим \(-10\) в правую часть:

\( -4x = -18 + 10 \)

\( -4x = -8 \)

\( x = \frac{-8}{-4} = 2 \)

Проверка: \( x = 2 \ge 0 \), подходит.

Случай 2: \( x < 0 \)

\( |x| = -x \), подставляем:

\( 2x — 10 — 6(-x) = -18 \)

\( 2x — 10 + 6x = -18 \)

\( 8x — 10 = -18 \)

\( 8x = -18 + 10 \)

\( 8x = -8 \)

\( x = \frac{-8}{8} = -1 \)

Проверка: \( x = -1 < 0 \), подходит.

Ответ: \( x = -1 \); \( x = 2 \)

4) Решим уравнение \( ||x| — 1| = |x — 1| \)

Введём два варианта равенства модулей:

\( ||x| — 1| = x — 1 \) или \( ||x| — 1| = -(x — 1) \)

Вариант 1: \( |x| — 1 = x — 1 \)

\( |x| — x = 0 \)

Случай 1: \( x \ge 0 \)

\( x — x = 0 \Rightarrow 0 = 0 \), верно для всех \( x \ge 0 \)

Случай 2: \( x < 0 \)

\( -x — x = -2x = 0 \Rightarrow x = 0 \), но \( x < 0 \), не подходит.

Вывод: из этого варианта \( x \ge 0 \)

Вариант 2: \( |x| — 1 = -(x — 1) \)

\( |x| — 1 = -x + 1 \Rightarrow |x| + x = 2 \)

Случай 1: \( x \ge 0 \)

\( x + x = 2 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \)

Проверка: \( x = 1 \ge 0 \), подходит.

Случай 2: \( x < 0 \)

\( -x + x = 0 \), а должно быть \( 2 \), противоречие, корней нет.

Итог: из второго варианта \( x = 1 \)

Объединяем решения:

Ответ: \( x \ge 0 \), включая \( x = 1 \)