ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 2.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) 2x — |x| = -1;

2) 7|x| — 3(x + 2) = -10;

3) ||x| — 2)| = |x + 2|.

1) \( 2x — |x| = -1 \);

если \( x \ge 0 \);    если \( x < 0 \);

\( 2x — x = -1 \quad\quad 2x + x = -1 \)

\( x = -1 \rightarrow \) не подходит, так как \( x \ge 0 \).    \( 3x = -1 \)

\(  x = -\frac{1}{3} \)

Ответ: \( x = -\frac{1}{3} \)

2) \( 7|x| — 3(x + 2) = -10 \);

если \( x \ge 0 \);    если \( x < 0 \);

\( 7x — 3x — 6 = -10 \quad\quad -7x — 3x — 6 = -10 \)

\( 4x = -4 \quad\quad\quad\quad\quad -10x = -4 \)

\( x = -1 \rightarrow \) не подходит, так как \( x \ge 0 \).    \( x = 0,4 \rightarrow \) не подходит, так как \( x < 0 \)

Ответ: корней нет

3) \( ||x| — 2| = |x + 2| \);

\( |x| — 2 = -(x + 2) \quad \) или \( \quad |x| — 2 = x + 2 \)

\( |x| — 2 = -x — 2 \quad\quad\quad |x| — x = 4 \)

\( |x| + x = 0 \)

Рассмотрим уравнение \( |x| + x = 0 \):

если \( x \ge 0 \);    если \( x < 0 \);

\( x + x = 0 \quad\quad\quad -x + x = 0 \)

\( 2x = 0 \quad\quad\quad\quad 0x = 0 \)

\( x = 0. \quad\quad\quad\quad x \) — любое число.

Рассмотрим уравнение \( |x| — x = 4 \):

если \( x \ge 0 \);    если \( x < 0 \);

\( x — x = 4 \quad\quad\quad -x — x = 4 \)

\( 0x = 4 \rightarrow \) корней нет.    \( -2x = 4 \)

\( x = -2 \)

Ответ: \( x \le 0 \)

1) Решим уравнение \( 2x — |x| = -1 \)

Сначала рассматриваем два случая в зависимости от знака \(x\).

Случай 1: \( x \ge 0 \)

Если \( x \ge 0 \), то \( |x| = x \). Подставляем в уравнение:

\( 2x — x = -1 \)

Упрощаем левую часть:

\( x = -1 \)

Проверка: \( x = -1 \ge 0 \) — неверно, не подходит.

Случай 2: \( x < 0 \)

Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \). Подставляем:

\( 2x — (-x) = -1 \)

\( 2x + x = -1 \)

Складываем подобные слагаемые:

\( 3x = -1 \)

Делим обе части на 3:

\( x = \frac{-1}{3} \)

Проверка: \( x = -\frac{1}{3} < 0 \), подходит.

Ответ: \( x = -\frac{1}{3} \)

2) Решим уравнение \( 7|x| — 3(x + 2) = -10 \)

Случай 1: \( x \ge 0 \)

\( |x| = x \), подставляем:

\( 7x — 3(x + 2) = -10 \)

Раскрываем скобки:

\( 7x — 3x — 6 = -10 \)

Складываем подобные слагаемые:

\( 4x — 6 = -10 \)

Переносим \(-6\) в правую часть:

\( 4x = -10 + 6 \)

\( 4x = -4 \)

\( x = \frac{-4}{4} = -1 \)

Проверка: \( x = -1 \ge 0 \) — неверно, не подходит.

Случай 2: \( x < 0 \)

\( |x| = -x \), подставляем:

\( 7(-x) — 3(x + 2) = -10 \)

\( -7x — 3x — 6 = -10 \)

\( -10x — 6 = -10 \)

Переносим \(-6\) в правую часть:

\( -10x = -10 + 6 \)

\( -10x = -4 \)

\( x = \frac{-4}{-10} = 0,4 \)

Проверка: \( x = 0,4 < 0 \) — неверно, не подходит.

Ответ: корней нет

3) Решим уравнение \( ||x| — 2| = |x + 2| \)

Раскладываем модули на два варианта:

\( |x| — 2 = -(x + 2) \quad \) или \( \quad |x| — 2 = x + 2 \)

Вариант 1: \( |x| — 2 = -(x + 2) \)

\( |x| — 2 = -x — 2 \)

Прибавим 2 к обеим частям:

\( |x| = -x \)

Складываем с \( x \) обе части:

\( |x| + x = 0 \)

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x \ge 0 \)

\( |x| + x = x + x = 2x = 0 \)

\( x = 0 \)

Случай 2: \( x < 0 \)

\( |x| + x = -x + x = 0 \)

Любое \( x < 0 \) тоже подходит, но для точного совпадения с предыдущей проверкой нужно учитывать общий результат.

Вариант 2: \( |x| — 2 = x + 2 \)

\( |x| — x = 4 \)

Случай 1: \( x \ge 0 \)

\( x — x = 0 \rightarrow 0 = 4 \), противоречие, корней нет.

Случай 2: \( x < 0 \)

\( -x — x = -2x = 4 \)

\( x = -2 \)

Объединяем результаты: решение из варианта 1 и вариант 2 для \( x < 0 \).

Ответ: \( x \le 0 \)