ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 2.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что n — натуральное число. Каким числом, четным или нечетным, является значение выражения:

1) 4n;

2) 2n — 1;

3) n(n + 1)?

\(n\) — натуральное число;

1) \(4n ⇒\) четное число;

2) \(2n — 1 ⇒\) нечетное число;

3) \(n(n + 1) ⇒\) четное число.

Известно, что \(n\) — натуральное число. Нам нужно определить, является ли число четным или нечетным в каждом из следующих выражений:

1) Выражение \(4n\)

Рассмотрим выражение \(4n\). Так как \(n\) — натуральное число, оно может быть как четным, так и нечетным. Но рассмотрим структуру выражения:

\(4n = 2 \cdot (2n)\)

Мы видим, что \(4n\) представлено как произведение числа 2 на другое целое число \((2n)\). По определению, любое число, которое делится на 2 без остатка, является четным. Следовательно, независимо от того, четное или нечетное \(n\), выражение \(4n\) делится на 2 и, значит, является четным.

Ответ: \(4n\) — четное число.

2) Выражение \(2n — 1\)

Теперь рассмотрим выражение \(2n — 1\). Сначала обратим внимание на часть \(2n\). Любое число, умноженное на 2, будет четным, потому что:

\(2n = 2 \cdot n\)

Теперь вычитаем 1:

\(2n — 1\)

Если из четного числа вычесть 1, результат всегда будет нечетным. Действительно, четные числа имеют вид \(2k\), где \(k\) — целое число. Тогда:

\(2n — 1 = 2k — 1\)

Числа вида \(2k — 1\) по определению являются нечетными. Следовательно, выражение \(2n — 1\) всегда нечетное.

Ответ: \(2n — 1\) — нечетное число.

3) Выражение \(n(n + 1)\)

Рассмотрим выражение \(n(n + 1)\). Здесь мы имеем произведение двух последовательных натуральных чисел: \(n\) и \(n+1\).

Свойство последовательных чисел заключается в том, что одно из них всегда четное. Действительно:

— Если \(n\) четное, то \(n = 2k\) для некоторого целого \(k\). Тогда:

\(n(n + 1) = 2k(n + 1) = 2 \cdot (k(n + 1))\)

Мы видим, что выражение делится на 2, значит, оно четное.

— Если \(n\) нечетное, то \(n = 2k — 1\) для некоторого целого \(k\). Тогда \(n + 1 = 2k\) — четное число. Тогда произведение:

\(n(n + 1) = (2k — 1) \cdot 2k = 2 \cdot (k(2k — 1))\)

Опять же, выражение делится на 2, значит, оно четное.

Таким образом, вне зависимости от того, четное или нечетное \(n\), произведение \(n(n + 1)\) всегда четное.

Ответ: \(n(n + 1)\) — четное число.