ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( x^3 — y^3 — (x — y)^3 = 3xy(x — y) \)

2) \( (6x — 1)^3 — 216x^3 + 1 = 18x(1 — 6x) \)

3) \( (b^2 + 3)^3 — 27(b^2 + 1) = b^4(b^2 + 9) \)

4) \( (3^n — 2)^3 — 27^n + 8 = 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) \)

1) \( x^3 — y^3 — (x — y)^3 = 3xy(x — y) \)
\( x^3 — y^3 — (x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3) = 3xy(x — y) \)
\( x^3 — y^3 — x^3 + 3x^2y — 3xy^2 + y^3 = 3xy(x — y) \)
\( 3x^2y — 3xy^2 = 3xy(x — y) \)
\( 3xy(x — y) = 3xy(x — y) \to \) что и требовалось доказать.

2) \( (6x — 1)^3 — 216x^3 + 1 = 18x(1 — 6x) \)
\( 216x^3 — 108x^2 + 18x — 1 — 216x^3 + 1 = 18x(1 — 6x) \)
\( -108x^2 + 18x = 18x(1 — 6x) \)
\( 18x(1 — 6x) = 18x(1 — 6x) \to \) что и требовалось доказать.

3) \( (b^2 + 3)^3 — 27(b^2 + 1) = b^4(b^2 + 9) \)
\( b^6 + 9b^4 + 27b^2 + 27 — 27b^2 — 27 = b^4(b^2 + 9) \)
\( b^6 + 9b^4 = b^4(b^2 + 9) \)
\( b^4(b^2 + 9) = b^4(b^2 + 9) \to \) что и требовалось доказать.

4) \( (3^n — 2)^3 — 27^n + 8 = 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) \)
\( 3^{3n} — 3 \cdot 3^{2n} \cdot 2 + 3 \cdot 3^n \cdot 4 — 8 — 27^n + 8 = 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) \)
\( 27^n — 3^{2n+1} \cdot 2 + 3^{n+1} \cdot 4 — 27^n = 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) \)
\( -3^{2n+1} \cdot 2 + 3^{n+1} \cdot 4 = 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) \)
\( 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) = 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) \to \) что и требовалось доказать.

1) \( x^3 — y^3 — (x — y)^3 = 3xy(x — y) \)
Раскроем куб \( (x — y)^3 \) по формуле для куба разности:
\( (x — y)^3 = x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3 \).
Теперь подставим это в левую часть тождества:
\( x^3 — y^3 — (x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3) = 3xy(x — y) \).
Раскрываем скобки в левой части:
\( x^3 — y^3 — x^3 + 3x^2y — 3xy^2 + y^3 = 3xy(x — y) \).
Сократим одинаковые члены \( x^3 \) и \( y^3 \):
\( 3x^2y — 3xy^2 = 3xy(x — y) \).
Теперь вынесем общий множитель \( 3xy \) из левой части:
\( 3xy(x + y) = 3xy(x — y) \).
Таким образом, тождество доказано.

2) \( (6x — 1)^3 — 216x^3 + 1 = 18x(1 — 6x) \)
Раскроем куб \( (6x — 1)^3 \) по формуле для куба разности:
\( (6x — 1)^3 = (6x)^3 — 3(6x)^2(1) + 3(6x)(1)^2 — 1^3 \).
Вычислим каждый член:
Первый член: \( (6x)^3 = 216x^3 \),
Второй член: \( -3 \cdot (6x)^2 \cdot 1 = -108x^2 \),
Третий член: \( 3 \cdot (6x) \cdot 1 = 18x \),
Четвёртый член: \( -1^3 = -1 \).
Таким образом, раскрытое выражение будет:
\( 216x^3 — 108x^2 + 18x — 1 \).
Теперь подставим это в левую часть тождества:
\( 216x^3 — 108x^2 + 18x — 1 — 216x^3 + 1 = 18x(1 — 6x) \).
Сократим одинаковые члены \( 216x^3 \) и \( -1 \):
\( -108x^2 + 18x = 18x(1 — 6x) \).
Теперь раскроем правую часть тождества:
\( 18x(1 — 6x) = 18x — 108x^2 \).
Таким образом, обе части тождества равны, и оно доказано.

3) \( (b^2 + 3)^3 — 27(b^2 + 1) = b^4(b^2 + 9) \)
Раскроем куб \( (b^2 + 3)^3 \) по формуле для куба суммы:
\( (b^2 + 3)^3 = (b^2)^3 + 3(b^2)^2(3) + 3(b^2)(3)^2 + 3^3 \).
Вычислим каждый член:
Первый член: \( (b^2)^3 = b^6 \),
Второй член: \( 3 \cdot (b^2)^2 \cdot 3 = 9b^4 \),
Третий член: \( 3 \cdot b^2 \cdot 9 = 27b^2 \),
Четвёртый член: \( 3^3 = 27 \).
Таким образом, раскрытое выражение будет:
\( b^6 + 9b^4 + 27b^2 + 27 \).
Теперь подставим это в левую часть тождества:
\( b^6 + 9b^4 + 27b^2 + 27 — 27b^2 — 27 = b^4(b^2 + 9) \).
Сократим одинаковые члены \( 27b^2 \) и \( 27 \):
\( b^6 + 9b^4 = b^4(b^2 + 9) \).
Таким образом, обе части тождества равны, и оно доказано.

4) \( (3^n — 2)^3 — 27^n + 8 = 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) \)
Раскроем куб \( (3^n — 2)^3 \) по формуле для куба разности:
\( (3^n — 2)^3 = (3^n)^3 — 3 \cdot (3^n)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 3^n \cdot 2^2 — 2^3 \).
Вычислим каждый член:
Первый член: \( (3^n)^3 = 3^{3n} \),
Второй член: \( -3 \cdot (3^n)^2 \cdot 2 = -3 \cdot 3^{2n} \cdot 2 = -3^{2n+1} \cdot 2 \),
Третий член: \( 3 \cdot 3^n \cdot 4 = 3^{n+1} \cdot 4 \),
Четвёртый член: \( -2^3 = -8 \).
Таким образом, раскрытое выражение будет:
\( 3^{3n} — 3^{2n+1} \cdot 2 + 3^{n+1} \cdot 4 — 8 \).
Теперь подставим это в левую часть тождества:
\( 3^{3n} — 3^{2n+1} \cdot 2 + 3^{n+1} \cdot 4 — 8 — 27^n + 8 = 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) \).
Используем равенства \( 27^n = 3^{3n} \) и \( 8 = 2^3 \), и получаем:
\( 3^{3n} — 3^{2n+1} \cdot 2 + 3^{n+1} \cdot 4 — 3^{3n} + 8 = 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) \).
Сократим \( 3^{3n} \) и получим:
\( — 3^{2n+1} \cdot 2 + 3^{n+1} \cdot 4 = 2 \cdot 3^{n+1}(2 — 3^n) \).
Таким образом, тождество доказано.