ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( x^3 — 6x^2 + 12x — 8 = 0 \)

2) \( 216x^3 + 108x^2 + 18x + 1 = 0 \)

3) \( 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 = 0 \)

1) \( x^3 — 6x^2 + 12x — 8 = 0 \)

\( (x — 2)^3 = 0 \)
\( x — 2 = 0 \)
\( x = 2 \).
Ответ: \( x = 2 \).

2) \( 216x^3 + 108x^2 + 18x + 1 = 0 \)
\( (6x + 1)^3 = 0 \)
\( 6x + 1 = 0 \)
\( 6x = -1 \)
\( x = -\frac{1}{6} \).
Ответ: \( x = -\frac{1}{6} \).

3) \( 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 = 0 \)
\( (3x + 2)^3 = 0 \)
\( 3x + 2 = 0 \)
\( 3x = -2 \)
\( x = -\frac{2}{3} \).
Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \).

1) \( x^3 — 6x^2 + 12x — 8 = 0 \)

Начнем с того, что заметим, что уравнение напоминает раскрытие куба. Мы можем попробовать факторизовать его. Попробуем представить его как куб разности:

Пусть \( (x — 2)^3 = 0 \). Раскроем куб разности по формуле:
\( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \), где \( a = x \) и \( b = 2 \).
Тогда \( (x — 2)^3 = x^3 — 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 — 2^3 = x^3 — 6x^2 + 12x — 8 \).
Мы видим, что \( x^3 — 6x^2 + 12x — 8 \) и \( (x — 2)^3 \) одинаковы, значит, исходное уравнение можно записать как:
\( (x — 2)^3 = 0 \).

Теперь решим уравнение \( (x — 2)^3 = 0 \):
Чтобы куб числа был равен нулю, сам элемент в кубе должен быть равен нулю:
\( x — 2 = 0 \).
Следовательно, \( x = 2 \).

Ответ: \( x = 2 \).

2) \( 216x^3 + 108x^2 + 18x + 1 = 0 \)

Посмотрим на уравнение. Мы видим, что оно может быть представлено как куб разности. Попробуем представить его в виде \( (6x + 1)^3 \):
Раскроем куб суммы \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \), где \( a = 6x \) и \( b = 1 \):
\( (6x + 1)^3 = (6x)^3 + 3 \cdot (6x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 6x \cdot 1^2 + 1^3 \).
Вычислим каждый член:
\( (6x)^3 = 216x^3 \),
\( 3 \cdot (6x)^2 \cdot 1 = 108x^2 \),
\( 3 \cdot 6x \cdot 1^2 = 18x \),
\( 1^3 = 1 \).
Таким образом, \( (6x + 1)^3 = 216x^3 + 108x^2 + 18x + 1 \), что совпадает с левой частью уравнения.

Теперь решим уравнение \( (6x + 1)^3 = 0 \):
Чтобы куб числа был равен нулю, сам элемент в кубе должен быть равен нулю:
\( 6x + 1 = 0 \).
Решим это уравнение:
\( 6x = -1 \),
\( x = -\frac{1}{6} \).

Ответ: \( x = -\frac{1}{6} \).

3) \( 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 = 0 \)

Рассмотрим уравнение \( (3x + 2)^3 \), раскрытие которого даст нам нужные члены. Используем формулу для куба суммы:
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \), где \( a = 3x \) и \( b = 2 \):
\( (3x + 2)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 3x \cdot 2^2 + 2^3 \).
Вычислим каждый член:
\( (3x)^3 = 27x^3 \),
\( 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 = 54x^2 \),
\( 3 \cdot 3x \cdot 2^2 = 36x \),
\( 2^3 = 8 \).
Таким образом, \( (3x + 2)^3 = 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 \), что совпадает с левой частью уравнения.

Теперь решим уравнение \( (3x + 2)^3 = 0 \):
Чтобы куб числа был равен нулю, сам элемент в кубе должен быть равен нулю:
\( 3x + 2 = 0 \).
Решим это уравнение:
\( 3x = -2 \),
\( x = -\frac{2}{3} \).

Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \).