ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = 0 \)

2) \( 125x^3 — 75x^2 + 15x — 1 = 0 \)

3) \( 64x^3 + 144x^2 + 108x + 27 = 0 \)

1) \( x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = 0 \)
\( (x + 3)^3 = 0 \)
\( x + 3 = 0 \)
\( x = -3 \).
Ответ: \( x = -3 \).

2) \( 125x^3 — 75x^2 + 15x — 1 = 0 \)
\( (5x — 1)^3 = 0 \)
\( 5x — 1 = 0 \)
\( 5x = 1 \)
\( x = 0,2 \).
Ответ: \( x = 0,2 \).

3) \( 64x^3 + 144x^2 + 108x + 27 = 0 \)
\( (4x + 3)^3 = 0 \)
\( 4x + 3 = 0 \)
\( 4x = -3 \)
\( x = -\frac{3}{4} \).
Ответ: \( x = -\frac{3}{4} \).

1) \( x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = 0 \)

Первое, что мы можем заметить, это то, что уравнение напоминает куб суммы. Попробуем представить его в виде куба:
\( (x + 3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 \).
Раскроем куб:
\( (x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \).
Как мы видим, данное выражение совпадает с исходным уравнением, следовательно, уравнение можно записать как:
\( (x + 3)^3 = 0 \).

Теперь решим уравнение \( (x + 3)^3 = 0 \).
Для того чтобы куб числа был равен нулю, сам элемент в кубе должен быть равен нулю:
\( x + 3 = 0 \).
Решаем это уравнение:
\( x = -3 \).

Ответ: \( x = -3 \).

2) \( 125x^3 — 75x^2 + 15x — 1 = 0 \)

Заметим, что выражение имеет форму куба разности. Попробуем представить его как \( (5x — 1)^3 \). Раскроем куб разности:
\( (5x — 1)^3 = (5x)^3 — 3 \cdot (5x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 5x \cdot 1^2 — 1^3 \).
Вычислим каждый член:
\( (5x)^3 = 125x^3 \),
\( -3 \cdot (5x)^2 \cdot 1 = -75x^2 \),
\( 3 \cdot 5x \cdot 1^2 = 15x \),
\( -1^3 = -1 \).
Таким образом, раскрыв куб, мы получаем:
\( 125x^3 — 75x^2 + 15x — 1 \), что совпадает с левой частью уравнения.
Теперь решим уравнение \( (5x — 1)^3 = 0 \).
Для того чтобы куб числа был равен нулю, сам элемент в кубе должен быть равен нулю:
\( 5x — 1 = 0 \).
Решаем это уравнение:
\( 5x = 1 \),
\( x = \frac{1}{5} = 0,2\).

Ответ: \( x = 0,2 \).

3) \( 64x^3 + 144x^2 + 108x + 27 = 0 \)

Здесь мы можем заметить, что это также куб суммы. Попробуем представить его как \( (4x + 3)^3 \). Раскроем куб:
\( (4x + 3)^3 = (4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 4x \cdot 3^2 + 3^3 \).
Вычислим каждый член:
\( (4x)^3 = 64x^3 \),
\( 3 \cdot (4x)^2 \cdot 3 = 144x^2 \),
\( 3 \cdot 4x \cdot 3^2 = 108x \),
\( 3^3 = 27 \).
Таким образом, раскрыв куб, мы получаем:
\( 64x^3 + 144x^2 + 108x + 27 \), что совпадает с левой частью уравнения.
Теперь решим уравнение \( (4x + 3)^3 = 0 \).
Для того чтобы куб числа был равен нулю, сам элемент в кубе должен быть равен нулю:
\( 4x + 3 = 0 \).
Решаем это уравнение:
\( 4x = -3 \),
\( x = -\frac{3}{4} \).

Ответ: \( x = -\frac{3}{4} \).