ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (2n — 1)³ — 4n² + 2n + 1 делится нацело на 16.

\( (2n — 1)^3 — 4n^2 + 2n + 1 = 8n^3 — 12n^2 + 6n — 1 — 4n^2 + 2n + 1 = \)

\( = 8n^3 — 16n^2 + 8n = 8n(n^2 — 2n + 1) = 8n(n — 1)^2 \).

Так как \( n(n — 1) \) является произведением двух последовательных чисел, то одно из них точно четное.
Значит, \( 8n(n — 1) \) делится нацело на 16 при любом натуральном \( n \).
Следовательно, значение данного выражения делится нацело на 16.

Что и требовалось доказать.

Докажем, что при любом натуральном \( n \) выражение \( (2n — 1)^3 — 4n^2 + 2n + 1 \) делится нацело на 16.

1) Начнем с раскрытия куба \( (2n — 1)^3 \). Для этого используем формулу для куба разности:
\( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \), где \( a = 2n \) и \( b = 1 \).
Раскроем \( (2n — 1)^3 \):
\( (2n — 1)^3 = (2n)^3 — 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 — 1^3 \).
Вычислим каждый член:
Первый член: \( (2n)^3 = 8n^3 \),
Второй член: \( -3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 = -12n^2 \),
Третий член: \( 3 \cdot 2n \cdot 1^2 = 6n \),
Четвёртый член: \( -1^3 = -1 \).
Таким образом, мы имеем:
\( (2n — 1)^3 = 8n^3 — 12n^2 + 6n — 1 \).

2) Теперь подставим это выражение в исходное уравнение \( (2n — 1)^3 — 4n^2 + 2n + 1 \):
\( (8n^3 — 12n^2 + 6n — 1) — 4n^2 + 2n + 1 \).
Раскроем скобки и соберем все члены:
\( 8n^3 — 12n^2 + 6n — 1 — 4n^2 + 2n + 1 \).
Теперь упрощаем:
\( 8n^3 — (12n^2 + 4n^2) + (6n + 2n) + (-1 + 1) \).
После упрощения получаем:
\( 8n^3 — 16n^2 + 8n \).

3) Вынесем общий множитель \( 8n \) из оставшихся членов:
\( 8n(n^2 — 2n + 1) \).
Теперь заметим, что выражение \( n^2 — 2n + 1 \) можно переписать как \( (n — 1)^2 \).
Таким образом, получаем:
\( 8n(n — 1)^2 \).

4) Теперь нужно доказать, что выражение \( 8n(n — 1)^2 \) делится на 16 при любом натуральном \( n \).
Так как \( n(n — 1) \) — это произведение двух последовательных чисел, то одно из них обязательно четное.
Следовательно, \( n(n — 1) \) делится на 2, и, таким образом, \( 8n(n — 1)^2 \) обязательно делится на 16, так как в произведении присутствует множитель \( 8 \), который делится на 16.

5) Следовательно, выражение \( (2n — 1)^3 — 4n^2 + 2n + 1 \) делится нацело на 16 при любом натуральном \( n \).

Что и требовалось доказать.