ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:

1) \( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 2y^3  \)

2) \( 7a^3 — 12a^2 + 6a — 1  \)

1) \( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 2y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + y^3 = \)
\( = (x + y)^3 + y^3 = ((x + y) + y)((x + y)^2 — y(x + y) + y^2) = \)
\( = (x + 2y)(x^2 + 2xy + y^2 — xy — y^2 + y^2) = \)
\( = (x + 2y)(x^2 + xy + y^2) \);

2) \( 7a^3 — 12a^2 + 6a — 1 = 8a^3 — 12a^2 + 6a — 1 — a^3 = \)
\( = (2a — 1)^3 — a^3 = ((2a — 1) — a)((2a — 1)^2 + a(2a — 1) + a^2) = \)
\( = (a — 1)(4a^2 — 4a + 1 + 2a^2 — a + a^2) = (a — 1)(7a^2 — 5a + 1) \).

1) \( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 2y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + y^3 = \)
\( = (x + y)^3 + y^3 = ((x + y) + y)((x + y)^2 — y(x + y) + y^2) = \)
\( = (x + 2y)(x^2 + 2xy + y^2 — xy — y^2 + y^2) = \)
\( = (x + 2y)(x^2 + xy + y^2) \);

Разложим этот многочлен на множители поэтапно.

1. Начнем с выражения \( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 2y^3 \). Заметим, что первые три слагаемых можно объединить как расширение куба, а последнее слагаемое \( 2y^3 \) можно оставить отдельно.
Мы имеем:
\( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 2y^3 = (x + y)^3 + y^3 \).
Это выражение можно интерпретировать как сумму двух кубов, где \( (x + y)^3 \) и \( y^3 \) — это кубы суммы и кубы числа соответственно.

2. Используем формулу для разности кубов \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = x + y \) и \( b = y \).
Таким образом, получаем:
\( (x + y)^3 + y^3 = ((x + y) + y)((x + y)^2 — y(x + y) + y^2) \).
Выполнив упрощения, получаем:
\( = (x + 2y)(x^2 + 2xy + y^2 — xy — y^2 + y^2) \).
После упрощения, выражение сводится к:
\( = (x + 2y)(x^2 + xy + y^2) \).
Таким образом, многочлен разложен на множители как \( (x + 2y)(x^2 + xy + y^2) \).

Ответ: \( (x + 2y)(x^2 + xy + y^2) \).

2) \( 7a^3 — 12a^2 + 6a — 1 = 8a^3 — 12a^2 + 6a — 1 — a^3 = \)
\( = (2a — 1)^3 — a^3 = ((2a — 1) — a)((2a — 1)^2 + a(2a — 1) + a^2) = \)
\( = (a — 1)(4a^2 — 4a + 1 + 2a^2 — a + a^2) = (a — 1)(7a^2 — 5a + 1) \).

Рассмотрим следующий многочлен:
\( 7a^3 — 12a^2 + 6a — 1 \).
Для начала представим его как разность между \( 8a^3 \) и \( a^3 \), а затем используем разложение на множители:

1. Мы начинаем с:
\( 8a^3 — 12a^2 + 6a — 1 — a^3 = (2a — 1)^3 — a^3 \).
Используем разность кубов:
\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = 2a — 1 \) и \( b = a \).
В результате получаем:
\( = ((2a — 1) — a)((2a — 1)^2 + a(2a — 1) + a^2) \).
После вычислений и упрощений получаем:
\( = (a — 1)(4a^2 — 4a + 1 + 2a^2 — a + a^2) \).
Упрощаем второй множитель:
\( 4a^2 — 4a + 1 + 2a^2 — a + a^2 = 7a^2 — 5a + 1 \).
Таким образом, разложенный вид многочлена:
\( = (a — 1)(7a^2 — 5a + 1) \).

Ответ: \( (a — 1)(7a^2 — 5a + 1) \).