ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:

1) \( 28a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3  \)

2) \( 63x^3 + 48x^2 + 12x + 1  \)

1) \( 28a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 + 27a^3 = \)
\( = (a — b)^3 + (3a)^3 = ((a — b) + 3a)((a — b)^2 — 3a(a — b) + 9a^2) = \)
\( = (4a — b)(a^2 — 2ab + b^2 — 3a^2 + 3ab + 9a^2) = \)
\( = (4a — b)(7a^2 + ab + b^2) \);

2) \( 63x^3 + 48x^2 + 12x + 1 = 64x^3 + 48x^2 + 12x + 1 — x^3 = \)
\( = (4x + 1)^3 — x^3 = ((4x + 1) — x)((4x + 1)^2 + x(4x + 1) + x^2) = \)
\( = (3x + 1)(16x^2 + 8x + 1 + 4x^2 + x + x^2) = \)
\( = (3x + 1)(21x^2 + 9x + 1) \).

1) \( 28a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 + 27a^3 = \)
\( = (a — b)^3 + (3a)^3 = ((a — b) + 3a)((a — b)^2 — 3a(a — b) + 9a^2) = \)
\( = (4a — b)(a^2 — 2ab + b^2 — 3a^2 + 3ab + 9a^2) = \)
\( = (4a — b)(7a^2 + ab + b^2) \);

Для разложения этого многочлена на множители используем метод приведения к известной формуле для кубов суммы и разности.

Шаг 1: Рассмотрим выражение \( 28a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \).
Мы видим, что этот многочлен можно представить как сумму двух кубов:
\( a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 + 27a^3 \).
Тогда получаем \( (a — b)^3 + (3a)^3 \).

Шаг 2: Теперь раскроем это выражение как разность кубов по формуле:
\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = (a — b) \) и \( b = 3a \).
Раскрываем кубы:
\( = ((a — b) + 3a)((a — b)^2 — 3a(a — b) + 9a^2) \).

Шаг 3: Дальше разложим выражение внутри скобок:
\( (a — b)^2 — 3a(a — b) + 9a^2 = a^2 — 2ab + b^2 — 3a^2 + 3ab + 9a^2 \),
что сводится к \( (7a^2 + ab + b^2) \).

Шаг 4: Итоговое разложение многочлена:
\( (4a — b)(7a^2 + ab + b^2) \).

Ответ: \( (4a — b)(7a^2 + ab + b^2) \).

2) \( 63x^3 + 48x^2 + 12x + 1 = 64x^3 + 48x^2 + 12x + 1 — x^3 = \)
\( = (4x + 1)^3 — x^3 = ((4x + 1) — x)((4x + 1)^2 + x(4x + 1) + x^2) = \)
\( = (3x + 1)(16x^2 + 8x + 1 + 4x^2 + x + x^2) = \)
\( = (3x + 1)(21x^2 + 9x + 1) \).

Разложим второй многочлен по аналогичной схеме:

Шаг 1: Упростим выражение \( 63x^3 + 48x^2 + 12x + 1 \).
Рассмотрим выражение \( 64x^3 + 48x^2 + 12x + 1 — x^3 \), которое можно представить как \( (4x + 1)^3 — x^3 \).

Шаг 2: Используем формулу разности кубов:
\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = (4x + 1) \) и \( b = x \).
Раскрываем это:
\( = ((4x + 1) — x)((4x + 1)^2 + x(4x + 1) + x^2) \).

Шаг 3: Упростим выражение внутри скобок:
\( (4x + 1)^2 = 16x^2 + 8x + 1 \),
\( x(4x + 1) = 4x^2 + x \),
\( x^2 = x^2 \).
Теперь получаем:
\( (3x + 1)(16x^2 + 8x + 1 + 4x^2 + x + x^2) \),
что упрощается до \( (3x + 1)(21x^2 + 9x + 1) \).

Ответ: \( (3x + 1)(21x^2 + 9x + 1) \).