ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа x и y таковы, что x³ — y³ = 7, x²y — xy² = 2. Найдите значение выражения x — y.

Известно, что \( x^3 — y^3 = 7 \) и \( x^2y — xy^2 = 2 \), тогда:

Раскроем куб разности \( (x — y)^3 \) по формуле:
\( (x — y)^3 = x^3 — 3x^2y + 3xy^2 — y^3 \).
Подставим в это выражение \( x^3 — y^3 \) и \( x^2y — xy^2 \), используя данные из условия:

\( (x — y)^3 = (x^3 — y^3) — 3(x^2y — xy^2) = \)
\( = 7 — 3 \cdot 2 = 7 — 6 = 1 \).

Значит, \( (x — y)^3 = 1 \).
Следовательно, \( (x — y) = 1 \).

Ответ: \( x — y = 1 \).

Задано, что \( x^3 — y^3 = 7 \) и \( x^2y — xy^2 = 2 \). Требуется найти значение выражения \( x — y \).

1. Начнем с того, что разность кубов можно разложить по формуле:
\( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \).
Из условия задачи известно, что \( x^3 — y^3 = 7 \), следовательно, получаем:
\( 7 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \).
Таким образом, у нас есть первое уравнение:
\( (x — y)(x^2 + xy + y^2) = 7 \).

2. Рассмотрим выражение \( x^2y — xy^2 \). Мы можем выделить общий множитель \( xy \):
\( x^2y — xy^2 = xy(x — y) \).
Из условия задачи известно, что \( x^2y — xy^2 = 2 \), следовательно, получаем:
\( xy(x — y) = 2 \).
Таким образом, у нас есть второе уравнение:
\( xy(x — y) = 2 \).

3. Теперь у нас есть система уравнений:
1) \( (x — y)(x^2 + xy + y^2) = 7 \),
2) \( xy(x — y) = 2 \).
Мы можем разделить первое уравнение на второе, чтобы избавиться от множителя \( (x — y) \):
\( \frac{(x — y)(x^2 + xy + y^2)}{xy(x — y)} = \frac{7}{2} \).
Сократим \( (x — y) \) в числителе и знаменателе:
\( \frac{x^2 + xy + y^2}{xy} = \frac{7}{2} \).
Теперь преобразуем левую часть:
\( \frac{x^2 + xy + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 \).
Таким образом, получаем уравнение:
\( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 = \frac{7}{2} \).
Упростим его:
\( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{7}{2} — 1 = \frac{5}{2} \).

4. Теперь воспользуемся тем, что \( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \). Подставим это в уравнение:
\( \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{5}{2} \).
Умножим обе части на \( xy \):
\( x^2 + y^2 = \frac{5}{2} \cdot xy \).
Таким образом, мы получаем связь между \( x^2 + y^2 \) и \( xy \). Однако, для точного нахождения значения \( x — y \), нам потребуется больше данных. Но, исходя из полученных уравнений, можем утверждать, что \( x — y = 1 \), как показано ранее в решении.

Ответ: \( x — y = 1 \).