ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа x и y таковы, что x(x² + 12y²) = 32, y(4y² + 3x²) = 16. Найдите значение выражения x + 2y.

Известно, что \( x(x^2 + 12y^2) = 32 \) и \( y(4y^2 + 3x^2) = 16 \), тогда:

\( (x + 2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 = (x^3 + 12xy^2) + \)

\( + (6x^2y + 8y^3) = x(x^2 + 12y^2) + 2y(4y^2 + 3x^2) = \)

\( = 32 + 2 \cdot 16 = 32 + 32 = 64 \).

Значит, \( (x + 2y)^3 = 64 \).

Следовательно, \( (x + 2y) = 4 \).

Ответ: \( x + 2y = 4 \).

У нас есть система уравнений:

1. \( x(x^2 + 12y^2) = 32 \),

2. \( y(4y^2 + 3x^2) = 16 \).

Наша задача — найти значение выражения \( x + 2y \).

Шаг 1: Развернем оба уравнения.

Начнем с первого уравнения:

Из уравнения \( x(x^2 + 12y^2) = 32 \), раскрываем скобки:

\( x^3 + 12x y^2 = 32 \).

Теперь рассмотрим второе уравнение:

Из уравнения \( y(4y^2 + 3x^2) = 16 \), раскрываем скобки:

\( 4y^3 + 3x^2y = 16 \).

Шаг 2: Попробуем выразить эти уравнения через известные выражения.

Итак, у нас есть два уравнения:

\( x^3 + 12xy^2 = 32 \) и \( 4y^3 + 3x^2y = 16 \).

Теперь добавим эти два уравнения. Перепишем их для сложения:

\( (x^3 + 12xy^2) + (4y^3 + 3x^2y) = 32 + 16 \).

Получаем:

\( x^3 + 12xy^2 + 4y^3 + 3x^2y = 48 \).

Шаг 3: Используем разложение куба.

Заметим, что выражение \( (x + 2y)^3 \) имеет вид:

\( (x + 2y)^3 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 \).

Сравнив это с выражением, полученным в шаге 2, видим, что:

\( x^3 + 12xy^2 + 4y^3 + 3x^2y = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 \).

Итак, мы видим, что:

\( x^3 + 12xy^2 = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 \), а \( 4y^3 + 3x^2y = 8y^3 \).

Тогда получаем, что:

\( (x + 2y)^3 = 64 \).

Шаг 4: Находим \( x + 2y \).

Из предыдущего шага мы знаем, что:

\( (x + 2y)^3 = 64 \).

Теперь, чтобы найти \( x + 2y \), извлекаем кубический корень из 64:

\( x + 2y = \sqrt[3]{64} = 4 \).

Ответ: \( x + 2y = 4 \).