ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения 1002 · 1004³ — 1003 · 1001³ является кубом натурального числа.

Пусть \( n = 1002 \), тогда:

\( 1002 \cdot 1004^3 — 1003 \cdot 1001^3 = n(n + 2)^3 — (n + 1)(n — 1)^3 = \)

\( = n(n^3 + 6n^2 + 12n + 8) — (n + 1)(n — 1)(n — 1)^2 = \)

\( = n^4 + 6n^3 + 12n^2 + 8n — (n^2 — 1)(n^2 — 2n + 1) = \)

\( = n^4 + 6n^3 + 12n^2 + 8n — (n^4 — 2n^3 + n^2 — n^2 + 2n — 1) = \)

\( = n^4 + 6n^3 + 12n^2 + 8n — (n^4 — 2n^3 + 2n — 1) = \)

\( = n^4 + 6n^3 + 12n^2 + 8n — n^4 + 2n^3 — 2n + 1 = \)

\( = 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1 = (2n + 1)^3 \).

Значит,

\( (2n + 1)^3 = (2 \cdot 1002 + 1)^3 = (2004 + 1)^3 = 2005^3 \Longrightarrow \) является кубом натурального числа.

Что и требовалось доказать.

Нам необходимо доказать, что значение выражения \( 1002 \cdot 1004^3 — 1003 \cdot 1001^3 \) является кубом натурального числа.

Для удобства введём обозначение: пусть \( n = 1002 \). Тогда выражение принимает вид:

\( n \cdot (n+2)^3 — (n+1) \cdot (n-1)^3 \).

Давайте развернем оба слагаемых в этом выражении.

Шаг 1: Раскроем скобки в каждом из слагаемых.

Первое слагаемое: \( n \cdot (n+2)^3 \). Развернем куб в скобках:

\( (n+2)^3 = n^3 + 6n^2 + 12n + 8 \),

Следовательно, \( n \cdot (n+2)^3 = n(n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = n^4 + 6n^3 + 12n^2 + 8n \).

Теперь развернем второе слагаемое: \( (n+1) \cdot (n-1)^3 \). Сначала раскроем куб в скобках:

\( (n-1)^3 = n^3 — 3n^2 + 3n — 1 \),

Следовательно, \( (n+1) \cdot (n-1)^3 = (n+1)(n^3 — 3n^2 + 3n — 1) \).

Теперь раскроем скобки:

\( (n+1)(n^3 — 3n^2 + 3n — 1) = n(n^3 — 3n^2 + 3n — 1) + 1(n^3 — 3n^2 + 3n — 1) \),

что дает:

\( = n^4 — 3n^3 + 3n^2 — n + n^3 — 3n^2 + 3n — 1 \),

или упрощая:

\( = n^4 — 2n^3 + 2n — 1 \).

Шаг 2: Теперь вычитаем два выражения.

Теперь, подставив развернутые выражения, получаем:

\( n \cdot (n+2)^3 — (n+1) \cdot (n-1)^3 = (n^4 + 6n^3 + 12n^2 + 8n) -\)

\( — (n^4 — 2n^3 + 2n — 1) \).

Вычитаем поочередно соответствующие члены:

\( = n^4 + 6n^3 + 12n^2 + 8n — n^4 + 2n^3 — 2n + 1 \),

упрощаем:

\( = 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1 \).

Шаг 3: Преобразуем полученное выражение.

Заметим, что выражение \( 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1 \) можно записать как куб:

\( 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1 = (2n+1)^3 \).

Шаг 4: Подставляем значение \( n \).

Теперь подставим \( n = 1002 \) в полученное выражение:

\( (2 \cdot 1002 + 1)^3 = 2005^3 \).

Шаг 5: Заключение.

Мы получили, что \( 1002 \cdot 1004^3 — 1003 \cdot 1001^3 = 2005^3 \), что является кубом натурального числа 2005.

Таким образом, мы доказали, что выражение \( 1002 \cdot 1004^3 — 1003 \cdot 1001^3 \) действительно является кубом натурального числа.