ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какое из данных равенств является тождеством:

1) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 — 1 \)

2) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 + 1 \)

3) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 — 27x^2 + 9x + 1 \)

4) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 — 27x^2 + 9x — 1 \)

1) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 — 1 \Longrightarrow \) не является тождеством;

2) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 + 1 \Longrightarrow \) не является тождеством;

3) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 — 27x^2 + 9x + 1 \Longrightarrow \) не является тождеством;

4) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 — 27x^2 + 9x — 1 \Longrightarrow \) тождество.

Ответ: 4).

Для того чтобы определить, какое из данных равенств является тождеством, нужно раскрыть скобки в выражении \( (3x — 1)^3 \) и сравнить с предложенными вариантами.

Используем формулу для куба разности:
\( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \).
В данном случае \( a = 3x \) и \( b = 1 \), подставляем эти значения в формулу:

Раскрываем куб:
\( (3x — 1)^3 = (3x)^3 — 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3x) \cdot 1^2 — 1^3 \).
Теперь вычислим каждый член:

Первый член:
\( (3x)^3 = 27x^3 \).
Второй член:
\( -3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 = -3 \cdot 9x^2 = -27x^2 \).
Третий член:
\( 3 \cdot (3x) \cdot 1^2 = 9x \).
Четвертый член:
\( -1^3 = -1 \).

Итак, раскрытое выражение будет выглядеть так:
\( (3x — 1)^3 = 27x^3 — 27x^2 + 9x — 1 \).

Теперь сравним полученное выражение с предложенными равенствами:

1) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 — 1 \).
Это выражение не совпадает с результатом, так как отсутствуют члены \( -27x^2 \) и \( 9x \), и также неправильный знак у последнего члена.

2) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 + 1 \).
Это выражение не совпадает с результатом, так как здесь знак при последнем члене \( 1 \) положительный, а не отрицательный.

3) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 — 27x^2 + 9x + 1 \).
Это выражение не совпадает с результатом, так как здесь лишний положительный член \( 1 \), который должен быть отрицательным.

4) \( (3x — 1)^3 = 27x^3 — 27x^2 + 9x — 1 \).
Это выражение совпадает с полученным результатом, так как все члены точно соответствуют раскрытому выражению.

Ответ: 4).