ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена выражение:

1) \( (a + 1)^3  \)

2) \( (m — 3)^3 \)

3) \( (a + 2b)^3  \)

4) \( (3 — n)^3  \)

5) \( (-2 + 3x)^3 \)

6) \( (-3 — 2y)^3  \)

1) \( (a + 1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 \);

2) \( (m — 3)^3 = m^3 — 3 \cdot m^2 \cdot 3 + 3 \cdot m \cdot 3^2 — 3^3 = \)
\( = m^3 — 9m^2 + 27m — 27 \);

3) \( (a + 2b)^3 = a^3 + 3a^2 \cdot 2b + 3a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = \)
\( = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 \);

4) \( (3 — n)^3 = 3^3 — 3 \cdot 3^2 \cdot n + 3 \cdot 3 \cdot n^2 — n^3 = \)
\( = 27 — 27n + 9n^2 — n^3 \);

5) \( (-2 + 3x)^3 = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 \cdot 3x + 3 \cdot (-2) \cdot (3x)^2 + (3x)^3 = \)
\( = -8 + 36x — 54x^2 + 27x^3 \);

6) \( (-3 — 2y)^3 = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 \cdot (-2y) + 3 \cdot (-3) \cdot (-2y)^2 + (-2y)^3 = \)
\( = -27 — 54y — 36y^2 — 8y^3 \).

1) \( (a + 1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 \);

Для этого используем формулу куба суммы:
\( (a + 1)^3 = a^3 + 3a^2 \cdot 1 + 3a \cdot 1^2 + 1^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 \).
Это уже готовый результат.

2) \( (m — 3)^3 = m^3 — 3 \cdot m^2 \cdot 3 + 3 \cdot m \cdot 3^2 — 3^3 = \)
\( = m^3 — 9m^2 + 27m — 27 \);

Для этого используем формулу куба разности:
\( (m — 3)^3 = m^3 — 3 \cdot m^2 \cdot 3 + 3 \cdot m \cdot 3^2 — 3^3 \).
После упрощения получаем:
\( = m^3 — 9m^2 + 27m — 27 \).

3) \( (a + 2b)^3 = a^3 + 3a^2 \cdot 2b + 3a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = \)
\( = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 \);

Здесь используем формулу куба суммы:
\( (a + 2b)^3 = a^3 + 3a^2 \cdot 2b + 3a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 \).
Раскрываем каждый член:
\( 3a^2 \cdot 2b = 6a^2b \),
\( 3a \cdot (2b)^2 = 12ab^2 \),
\( (2b)^3 = 8b^3 \).
Таким образом, получаем:
\( = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 \).

4) \( (3 — n)^3 = 3^3 — 3 \cdot 3^2 \cdot n + 3 \cdot 3 \cdot n^2 — n^3 = \)
\( = 27 — 27n + 9n^2 — n^3 \);

Здесь используем формулу куба разности:
\( (3 — n)^3 = 3^3 — 3 \cdot 3^2 \cdot n + 3 \cdot 3 \cdot n^2 — n^3 \).
Рассчитаем каждый член:
\( 3^3 = 27 \),
\( -3 \cdot 3^2 \cdot n = -27n \),
\( 3 \cdot 3 \cdot n^2 = 9n^2 \),
\( -n^3 = -n^3 \).
Итак, результат:
\( = 27 — 27n + 9n^2 — n^3 \).

5) \( (-2 + 3x)^3 = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 \cdot 3x + 3 \cdot (-2) \cdot (3x)^2 + (3x)^3 = \)
\( = -8 + 36x — 54x^2 + 27x^3 \);

Здесь используем формулу куба суммы:
\( (-2 + 3x)^3 = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 \cdot 3x + 3 \cdot (-2) \cdot (3x)^2 + (3x)^3 \).
Раскрываем каждый член:
\( (-2)^3 = -8 \),
\( 3 \cdot (-2)^2 \cdot 3x = 36x \),
\( 3 \cdot (-2) \cdot (3x)^2 = -54x^2 \),
\( (3x)^3 = 27x^3 \).
Таким образом, результат:
\( = -8 + 36x — 54x^2 + 27x^3 \).

6) \( (-3 — 2y)^3 = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 \cdot (-2y) + 3 \cdot (-3) \cdot (-2y)^2 + (-2y)^3 = \)
\( = -27 — 54y — 36y^2 — 8y^3 \).

Здесь используем формулу куба разности:
\( (-3 — 2y)^3 = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 \cdot (-2y) + 3 \cdot (-3) \cdot (-2y)^2 + (-2y)^3 \).
Раскрываем каждый член:
\( (-3)^3 = -27 \),
\( 3 \cdot (-3)^2 \cdot (-2y) = -54y \),
\( 3 \cdot (-3) \cdot (-2y)^2 = -36y^2 \),
\( (-2y)^3 = -8y^3 \).
Итак, результат:
\( = -27 — 54y — 36y^2 — 8y^3 \).