ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена выражение:

1) \( (b + 2)^3  \)

2) \( (c — 1)^3  \)

3) \( (3b + c)^3  \)

4) \( \left(a — \frac{2}{3}\right)^3  \)

5) \( (-3 + y)^3  \)

6) \( \left(-4 — \frac{1}{3}m\right)^3 \)

1) \( (b + 2)^3 = b^3 + 3b^2 \cdot 2 + 3b \cdot 2^2 + 2^3 = b^3 + 6b^2 + 12b + 8 \);

2) \( (c — 1)^3 = c^3 — 3c^2 + 3c — 1 \);

3) \( (3b + c)^3 = (3b)^3 + 3 \cdot (3b)^2 \cdot c + 3 \cdot 3b \cdot c^2 + c^3 = \)
\( = 27b^3 + 27b^2c + 9bc^2 + c^3 \);

4) \( \left(a — \frac{2}{3}\right)^3 = a^3 — 3a^2 \cdot \frac{2}{3} + 3a \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 — \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \)
\( = a^3 — 2a^2 + 3a \cdot \frac{4}{9} — \frac{8}{27} = a^3 — 2a^2 + \frac{4}{3}a — \frac{8}{27} \);

5) \( (-3 + y)^3 = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 \cdot y + 3 \cdot (-3) \cdot y^2 + y^3 = \)
\( = -27 + 27y — 9y^2 + y^3 \);

6) \( \left(-4 — \frac{1}{3}m\right)^3 = (-4)^3 + 3 \cdot (-4)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}m\right) + \)
\( + 3 \cdot (-4) \cdot \left(-\frac{1}{3}m\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}m\right)^3 = -64 — 3 \cdot 16 \cdot \frac{1}{3}m — 12 \cdot \frac{1}{9}m^2 — \)
\( — \frac{1}{27}m^3 = -64 — 16m — \frac{4}{3}m^2 — \frac{1}{27}m^3 \).

1) \( (b + 2)^3 = b^3 + 3b^2 \cdot 2 + 3b \cdot 2^2 + 2^3 = b^3 + 6b^2 + 12b + 8 \);

Для первого выражения, мы раскрываем скобки, используя формулу для куба суммы \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \), где \( a = b \), а \( b = 2 \).
Первый член: \( b^3 \) — это просто куб числа \( b \).
Второй член: \( 3b^2 \cdot 2 = 6b^2 \),
Третий член: \( 3b \cdot 2^2 = 12b \),
Четвёртый член: \( 2^3 = 8 \).
Таким образом, выражение после раскрытия скобок будет:
\( b^3 + 6b^2 + 12b + 8 \).

2) \( (c — 1)^3 = c^3 — 3c^2 + 3c — 1 \);

Это выражение раскроется с использованием формулы куба разности \( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \), где \( a = c \), а \( b = 1 \).
Первый член: \( c^3 \),
Второй член: \( -3c^2 \cdot 1 = -3c^2 \),
Третий член: \( 3c \cdot 1^2 = 3c \),
Четвёртый член: \( -1^3 = -1 \).
Таким образом, выражение после раскрытия скобок будет:
\( c^3 — 3c^2 + 3c — 1 \).

3) \( (3b + c)^3 = (3b)^3 + 3 \cdot (3b)^2 \cdot c + 3 \cdot 3b \cdot c^2 + c^3 = \)
\( = 27b^3 + 27b^2c + 9bc^2 + c^3 \);

Здесь мы используем формулу для куба суммы, где \( a = 3b \) и \( b = c \).
Первый член: \( (3b)^3 = 27b^3 \),
Второй член: \( 3 \cdot (3b)^2 \cdot c = 27b^2c \),
Третий член: \( 3 \cdot 3b \cdot c^2 = 9bc^2 \),
Четвёртый член: \( c^3 \).
Таким образом, выражение после раскрытия скобок будет:
\( 27b^3 + 27b^2c + 9bc^2 + c^3 \).

4) \( \left(a — \frac{2}{3}\right)^3 = a^3 — 3a^2 \cdot \frac{2}{3} + 3a \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 — \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \)
\( = a^3 — 2a^2 + 3a \cdot \frac{4}{9} — \frac{8}{27} = a^3 — 2a^2 + \frac{4}{3}a — \frac{8}{27} \);

Здесь мы используем формулу для куба разности, где \( a = a \), а \( b = \frac{2}{3} \).
Первый член: \( a^3 \),
Второй член: \( -3a^2 \cdot \frac{2}{3} = -2a^2 \),
Третий член: \( 3a \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3a \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{3}a \),
Четвёртый член: \( -\left(\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27} \).
Таким образом, выражение после раскрытия скобок будет:
\( a^3 — 2a^2 + \frac{4}{3}a — \frac{8}{27} \).

5) \( (-3 + y)^3 = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 \cdot y + 3 \cdot (-3) \cdot y^2 + y^3 = \)
\( = -27 + 27y — 9y^2 + y^3 \);

Здесь используем формулу куба суммы, где \( a = -3 \) и \( b = y \).
Первый член: \( (-3)^3 = -27 \),
Второй член: \( 3 \cdot (-3)^2 \cdot y = 27y \),
Третий член: \( 3 \cdot (-3) \cdot y^2 = -9y^2 \),
Четвёртый член: \( y^3 \).
Таким образом, выражение после раскрытия скобок будет:
\( -27 + 27y — 9y^2 + y^3 \).

6) \( \left(-4 — \frac{1}{3}m\right)^3 = (-4)^3 + 3 \cdot (-4)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}m\right) + \)
\( + 3 \cdot (-4) \cdot \left(-\frac{1}{3}m\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}m\right)^3 = -64 — 3 \cdot 16 \cdot \frac{1}{3}m — 12 \cdot \frac{1}{9}m^2 — \)
\( — \frac{1}{27}m^3 = -64 — 16m — \frac{4}{3}m^2 — \frac{1}{27}m^3 \);

Здесь используем формулу для куба разности, где \( a = -4 \) и \( b = -\frac{1}{3}m \).
Первый член: \( (-4)^3 = -64 \),
Второй член: \( 3 \cdot (-4)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}m\right) = -16m \),
Третий член: \( 3 \cdot (-4) \cdot \left(-\frac{1}{3}m\right)^2 = -\frac{4}{3}m^2 \),
Четвёртый член: \( \left(-\frac{1}{3}m\right)^3 = -\frac{1}{27}m^3 \).
Таким образом, выражение после раскрытия скобок будет:
\( -64 — 16m — \frac{4}{3}m^2 — \frac{1}{27}m^3 \).