ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните возведение в куб:

1) \( (2x^2 — y^3)^3  \)

2) \( (x^n + y^{2n})^3 \)

3) \( (2^{n+1} — 3m)^3  \)

1) \( (2x^2 — y^3)^3 = (2x^2)^3 — 3 \cdot (2x^2)^2 \cdot y^3 + 3 \cdot 2x^2 \cdot (y^3)^2 — (y^3)^3 = \)
\( = 8x^6 — 12x^4y^3 + 6x^2y^6 — y^9 \);

2) \( (x^n + y^{2n})^3 = x^3n^3 + 3x^2n^2y^{2n} + 3xny^{4n} + y^{6n} \);

3) \( (2^{n+1} — 3m)^3 = (2^{n+1})^3 — 3 \cdot (2^{n+1})^2 \cdot 3m + 3 \cdot 2^{n+1} \cdot (3m)^2 — \)
\( — (3m)^3 = 2^{3n+3} — 9m \cdot 2^{2n+2} + 3 \cdot 2^{n+1} \cdot 9m^2 — 27m^3 = \)
\( = 2^{3n+3} — 9m \cdot 2^{2n+2} + 27m^2 \cdot 2^{n+1} — 27m^3 \).

1) \( (2x^2 — y^3)^3 = (2x^2)^3 — 3 \cdot (2x^2)^2 \cdot y^3 + 3 \cdot 2x^2 \cdot (y^3)^2 — (y^3)^3 = \)
\( = 8x^6 — 12x^4y^3 + 6x^2y^6 — y^9 \);

Для этого примера мы применяем формулу для куба разности:
\( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \), где \( a = 2x^2 \) и \( b = y^3 \).
Раскроем каждый член:
Первый член: \( (2x^2)^3 = 8x^6 \),
Второй член: \( -3 \cdot (2x^2)^2 \cdot y^3 = -12x^4y^3 \),
Третий член: \( 3 \cdot 2x^2 \cdot (y^3)^2 = 6x^2y^6 \),
Четвёртый член: \( -(y^3)^3 = -y^9 \).
Таким образом, получаем результат:
\( 8x^6 — 12x^4y^3 + 6x^2y^6 — y^9 \).

2) \( (x^n + y^{2n})^3 = x^{3n} + 3x^{2n}y^{2n} + 3x^n y^{4n} + y^{6n} \);

Здесь мы используем формулу для куба суммы, где \( a = x^n \) и \( b = y^{2n} \).
Первый член: \( x^{3n} \),
Второй член: \( 3x^{2n}y^{2n} \),
Третий член: \( 3x^n y^{4n} \),
Четвёртый член: \( y^{6n} \).
Таким образом, получаем результат:
\( x^{3n} + 3x^{2n}y^{2n} + 3x^n y^{4n} + y^{6n} \).

3) \( (2^{n+1} — 3m)^3 = (2^{n+1})^3 — 3 \cdot (2^{n+1})^2 \cdot 3m + 3 \cdot 2^{n+1} \cdot (3m)^2 — \)
\( — (3m)^3 = 2^{3n+3} — 9m \cdot 2^{2n+2} + 3 \cdot 2^{n+1} \cdot 9m^2 — 27m^3 = \)
\( = 2^{3n+3} — 9m \cdot 2^{2n+2} + 27m^2 \cdot 2^{n+1} — 27m^3 \).

Здесь мы применяем формулу для куба разности, где \( a = 2^{n+1} \) и \( b = 3m \).
Первый член: \( (2^{n+1})^3 = 2^{3n+3} \),
Второй член: \( -3 \cdot (2^{n+1})^2 \cdot 3m = -9m \cdot 2^{2n+2} \),
Третий член: \( 3 \cdot 2^{n+1} \cdot (3m)^2 = 27m^2 \cdot 2^{n+1} \),
Четвёртый член: \( -(3m)^3 = -27m^3 \).
Таким образом, получаем результат:
\( 2^{3n+3} — 9m \cdot 2^{2n+2} + 27m^2 \cdot 2^{n+1} — 27m^3 \).