ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните возведение в куб:

1) \( (3x^4 + 2y^2)^3  \)

2) \( (a^{2m} — b^{3n})^3 \)

3) \( (3n + 4^{m-1})^3  \)

1) \( (3x^4 + 2y^2)^3 = (3x^4)^3 + 3 \cdot (3x^4)^2 \cdot 2y^2 + 3 \cdot 3x^4 \cdot (2y^2)^2 + \)
\( + (2y^2)^3 = 27x^{12} + 6y^2 \cdot 9x^8 + 9x^4 \cdot 4y^4 + 8y^6 = \)
\( = 27x^{12} + 54x^8y^2 + 36x^4y^4 + 8y^6 \);

2) \( (a^{2m} — b^{3n})^3 = (a^{2m})^3 — 3 \cdot (a^{2m})^2 \cdot b^{3n} + 3 \cdot a^{2m} \cdot (b^{3n})^2 — \)
\( — (b^{3n})^3 = a^{6m} — 3a^{4m}b^{3n} + 3a^{2m}b^{6n} — b^{9n} \);

3) \( (3n + 4^{m-1})^3 = (3n)^3 + 3 \cdot 9n^2 \cdot 4^{m-1} + 3 \cdot 3n \cdot (4^{m-1})^2 + (4^{m-1})^3 = \)
\( = 27n^3 + 27n^2 \cdot 4^{m-1} + 9n \cdot 4^{2m-2} + 4^{3m-3} \).

1) \( (3x^4 + 2y^2)^3 = (3x^4)^3 + 3 \cdot (3x^4)^2 \cdot 2y^2 + 3 \cdot 3x^4 \cdot (2y^2)^2 + \)
\( + (2y^2)^3 = 27x^{12} + 6y^2 \cdot 9x^8 + 9x^4 \cdot 4y^4 + 8y^6 = \)
\( = 27x^{12} + 54x^8y^2 + 36x^4y^4 + 8y^6 \);

Здесь мы используем формулу для куба суммы:
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \), где \( a = 3x^4 \) и \( b = 2y^2 \).
Рассчитаем каждый член:
Первый член: \( (3x^4)^3 = 27x^{12} \),
Второй член: \( 3 \cdot (3x^4)^2 \cdot 2y^2 = 3 \cdot 9x^8 \cdot 2y^2 = 54x^8y^2 \),
Третий член: \( 3 \cdot 3x^4 \cdot (2y^2)^2 = 3 \cdot 3x^4 \cdot 4y^4 = 36x^4y^4 \),
Четвёртый член: \( (2y^2)^3 = 8y^6 \).
Итак, результат:
\( 27x^{12} + 54x^8y^2 + 36x^4y^4 + 8y^6 \).

2) \( (a^{2m} — b^{3n})^3 = (a^{2m})^3 — 3 \cdot (a^{2m})^2 \cdot b^{3n} + 3 \cdot a^{2m} \cdot (b^{3n})^2 — \)
\( — (b^{3n})^3 = a^{6m} — 3a^{4m}b^{3n} + 3a^{2m}b^{6n} — b^{9n} \);

Здесь мы используем формулу для куба разности:
\( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \), где \( a = a^{2m} \) и \( b = b^{3n} \).
Рассчитаем каждый член:
Первый член: \( (a^{2m})^3 = a^{6m} \),
Второй член: \( -3 \cdot (a^{2m})^2 \cdot b^{3n} = -3a^{4m}b^{3n} \),
Третий член: \( 3 \cdot a^{2m} \cdot (b^{3n})^2 = 3a^{2m}b^{6n} \),
Четвёртый член: \( -(b^{3n})^3 = -b^{9n} \).
Итак, результат:
\( a^{6m} — 3a^{4m}b^{3n} + 3a^{2m}b^{6n} — b^{9n} \).

3) \( (3n + 4^{m-1})^3 = (3n)^3 + 3 \cdot 9n^2 \cdot 4^{m-1} + 3 \cdot 3n \cdot (4^{m-1})^2 + (4^{m-1})^3 = \)
\( = 27n^3 + 27n^2 \cdot 4^{m-1} + 9n \cdot 4^{2m-2} + 4^{3m-3} \).

Здесь мы используем формулу для куба суммы:
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \), где \( a = 3n \) и \( b = 4^{m-1} \).
Рассчитаем каждый член:
Первый член: \( (3n)^3 = 27n^3 \),
Второй член: \( 3 \cdot (3n)^2 \cdot 4^{m-1} = 27n^2 \cdot 4^{m-1} \),
Третий член: \( 3 \cdot 3n \cdot (4^{m-1})^2 = 9n \cdot 4^{2m-2} \),
Четвёртый член: \( (4^{m-1})^3 = 4^{3m-3} \).
Итак, результат:
\( 27n^3 + 27n^2 \cdot 4^{m-1} + 9n \cdot 4^{2m-2} + 4^{3m-3} \).