ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Замените звездочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) \( (x + *)^3 = * + 21x^2 + * + * \)

2) \( (* — 2a)^3 = 27m^6 — * + * — * \)

1) \( (x + *)^3 = * + 21x^2 + * + * \);
\( (x + 7)^3 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343 \).

2) \( (* — 2a)^3 = 27m^6 — * + * — * \);
\( (3m^2 — 2a)^3 = 27m^6 — 54am^4 + 36a^2m^2 — 8a^3 \).

Для того чтобы заменить звездочки на одночлены, давайте раскроем куб каждого из выражений и подберём такие значения для звездочек, которые образуют тождество с исходным многочленом.

1) \( (x + *)^3 = * + 21x^2 + * + * \);
\( (x + 7)^3 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343 \).

Раскроем куб выражения \( (x + 7)^3 \) с использованием формулы для куба суммы:
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \), где \( a = x \) и \( b = 7 \).

1. Первый член: \( (x)^3 = x^3 \),
2. Второй член: \( 3 \cdot x^2 \cdot 7 = 21x^2 \),
3. Третий член: \( 3 \cdot x \cdot 7^2 = 147x \),
4. Четвёртый член: \( 7^3 = 343 \).
Таким образом, для того чтобы получился тождественный многочлен, нам нужно заменить звездочки следующим образом:

1) \( (x + 7)^3 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343 \).

Итак, заменим звездочки:
\( * = 7 \),
\( * = 147x \),
\( * = 343 \).

2) \( (* — 2a)^3 = 27m^6 — * + * — * \);
\( (3m^2 — 2a)^3 = 27m^6 — 54am^4 + 36a^2m^2 — 8a^3 \).

Для второго выражения раскроем куб выражения \( (3m^2 — 2a)^3 \) с использованием той же формулы для куба разности:
\( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \), где \( a = 3m^2 \) и \( b = 2a \).

1. Первый член: \( (3m^2)^3 = 27m^6 \),
2. Второй член: \( -3 \cdot (3m^2)^2 \cdot 2a = -54am^4 \),
3. Третий член: \( 3 \cdot 3m^2 \cdot (2a)^2 = 36a^2m^2 \),
4. Четвёртый член: \( -(2a)^3 = -8a^3 \).
Таким образом, для того чтобы получить тождественное выражение, нам нужно заменить звездочки следующим образом:

2) \( (3m^2 — 2a)^3 = 27m^6 — 54am^4 + 36a^2m^2 — 8a^3 \).

Заменим звездочки:
\( * = 54am^4 \),
\( * = 36a^2m^2 \),
\( * = 8a^3 \).