ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 20.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( (x + y)^3 — x^3 — y^3 = 3xy(x + y) \)

2) \( (3x + 1)^3 — 9x(3x + 1) = 27x^3 + 1 \)

3) \( (2 + y^2)^3 — 4(2 + 3y^2) = y^4(6 + y^2) \)

4) \( (2^n — 3^n)^3 — 8^n + 27^n = -3 \cdot 6^n(2^n — 3^n) \)

1) \( (x + y)^3 — x^3 — y^3 = 3xy(x + y) \)
\( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 — x^3 — y^3 = 3xy(x + y) \)
\( 3x^2y + 3xy^2 = 3xy(x + y) \)
\( 3xy(x + y) = 3xy(x + y) \to \) что и требовалось доказать.

2) \( (3x + 1)^3 — 9x(3x + 1) = 27x^3 + 1 \)
\( 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 — 27x^2 — 9x = 27x^3 + 1 \)
\( 27x^3 + 1 = 27x^3 + 1 \to \) что и требовалось доказать.

3) \( (2 + y^2)^3 — 4(2 + 3y^2) = y^4(6 + y^2) \)
\( 8 + 12y^2 + 6y^4 + y^6 — 8 — 12y^2 = y^4(6 + y^2) \)
\( 6y^4 + y^6 = y^4(6 + y^2) \)
\( y^4(6 + y^2) = y^4(6 + y^2) \to \) что и требовалось доказать.

4) \( (2^n — 3^n)^3 — 8^n + 27^n = -3 \cdot 6^n(2^n — 3^n) \)
\( 2^{3n} — 3 \cdot 2^{2n} \cdot 3^n + 3 \cdot 2^n \cdot 3^{2n} — 3^{3n} — 8^n + 27^n = -3 \cdot 6^n(2^n — 3^n) \)
\( 8^n — 3 \cdot 4^n \cdot 3^n + 3 \cdot 2^n \cdot 9^n — 27^n — 8^n + 27^n = -3 \cdot 6^n(2^n — 3^n) \)
\( -3 \cdot 4^n \cdot 3^n + 3 \cdot 2^n \cdot 9^n = -3 \cdot 6^n(2^n — 3^n) \)
\( -3 \cdot 12^n + 3 \cdot 18^n = -3 \cdot 6^n(2^n — 3^n) \)
\( -3 \cdot 6^n(2^n — 3^n) = -3 \cdot 6^n(2^n — 3^n) \to \) что и требовалось доказать.

1) \( (x + y)^3 — x^3 — y^3 = 3xy(x + y) \).

Начнем с раскрытия левой части тождества. Используем формулу для куба суммы:
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \), где \( a = x \), а \( b = y \).
Раскроем куб:
\( (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \).
Теперь подставим это в левую часть выражения:
\( (x + y)^3 — x^3 — y^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) — x^3 — y^3 \).
Сократим \( x^3 \) и \( y^3 \):
\( = 3x^2y + 3xy^2 \).
Теперь выделим общий множитель \( 3xy \):
\( = 3xy(x + y) \).
И мы получили правую часть тождества:
\( 3xy(x + y) \).
Таким образом, тождество доказано.

2) \( (3x + 1)^3 — 9x(3x + 1) = 27x^3 + 1 \).

Для доказательства начнем с раскрытия скобок в левой части тождества. Раскроем куб \( (3x + 1)^3 \) по формуле для куба суммы:
\( (3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 \).
Вычислим каждый член:
Первый член: \( (3x)^3 = 27x^3 \),
Второй член: \( 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 = 27x^2 \),
Третий член: \( 3 \cdot 3x \cdot 1^2 = 9x \),
Четвёртый член: \( 1^3 = 1 \).
Таким образом, раскрыв куб, получаем:
\( (3x + 1)^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 \).
Теперь раскроем второй множитель \( 9x(3x + 1) \):
\( 9x(3x + 1) = 27x^2 + 9x \).
Теперь подставим оба выражения в левую часть тождества:
\( (27x^3 + 27x^2 + 9x + 1) — (27x^2 + 9x) \).
Сократим одинаковые члены \( 27x^2 \) и \( 9x \):
\( = 27x^3 + 1 \).
Это совпадает с правой частью тождества, и оно доказано.

3) \( (2 + y^2)^3 — 4(2 + 3y^2) = y^4(6 + y^2) \).

Для доказательства раскроем куб \( (2 + y^2)^3 \) по формуле для куба суммы:
\( (2 + y^2)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot y^2 + 3 \cdot 2 \cdot y^4 + y^6 \).
Вычислим каждый член:
Первый член: \( 2^3 = 8 \),
Второй член: \( 3 \cdot 2^2 \cdot y^2 = 12y^2 \),
Третий член: \( 3 \cdot 2 \cdot y^4 = 6y^4 \),
Четвёртый член: \( y^6 \).
Таким образом, раскрыв куб, получаем:
\( (2 + y^2)^3 = 8 + 12y^2 + 6y^4 + y^6 \).
Теперь раскроем второй множитель \( 4(2 + 3y^2) \):
\( 4(2 + 3y^2) = 8 + 12y^2 \).
Теперь подставим оба выражения в левую часть тождества:
\( (8 + 12y^2 + 6y^4 + y^6) — (8 + 12y^2) \).
Сократим одинаковые члены \( 8 \) и \( 12y^2 \):
\( = 6y^4 + y^6 \).
Теперь вынесем \( y^4 \) за скобки:
\( = y^4(6 + y^2) \).
Это совпадает с правой частью тождества, и оно доказано.

4) \( (2^n — 3^n)^3 — 8^n + 27^n = -3 \cdot 6^n(2^n — 3^n) \).

Для доказательства раскроем куб \( (2^n — 3^n)^3 \) по формуле для куба разности:
\( (2^n — 3^n)^3 = (2^n)^3 — 3 \cdot (2^n)^2 \cdot 3^n + 3 \cdot 2^n \cdot (3^n)^2 — (3^n)^3 \).
Вычислим каждый член:
Первый член: \( (2^n)^3 = 2^{3n} \),
Второй член: \( -3 \cdot (2^n)^2 \cdot 3^n = -3 \cdot 2^{2n} \cdot 3^n \),
Третий член: \( 3 \cdot 2^n \cdot (3^n)^2 = 3 \cdot 2^n \cdot 3^{2n} \),
Четвёртый член: \( -(3^n)^3 = -3^{3n} \).
Таким образом, раскрыв куб, получаем:
\( (2^n — 3^n)^3 = 2^{3n} — 3 \cdot 2^{2n} \cdot 3^n + 3 \cdot 2^n \cdot 3^{2n} — 3^{3n} \).
Теперь подставим это в левую часть выражения:
\( 2^{3n} — 3 \cdot 2^{2n} \cdot 3^n + 3 \cdot 2^n \cdot 3^{2n} — 3^{3n} — 8^n + 27^n \).
Вместо \( 8^n \) и \( 27^n \) подставляем:
\( 8^n = 2^{3n} \) и \( 27^n = 3^{3n} \).
Таким образом, левая часть преобразуется в:
\( 2^{3n} — 3 \cdot 2^{2n} \cdot 3^n + 3 \cdot 2^n \cdot 3^{2n} — 3^{3n} — 2^{3n} + 3^{3n} \).
Сократим \( 2^{3n} \) и \( 3^{3n} \):
\( -3 \cdot 2^{2n} \cdot 3^n + 3 \cdot 2^n \cdot 3^{2n} = -3 \cdot 6^n(2^n — 3^n) \).
Таким образом, тождество доказано.