ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \( a^2 — b^2 — a — b  \)

2) \( x — y — x^2 + y^2  \)

3) \( 4m^2 — 9n^2 + 2m + 3n  \)

4) \( c^2 — d^2 + 4c — 4d  \)

5) \( 5x^2y — 5xy^2 — x^2 + y^2  \)

6) \( a^2 — 10a + 25 — ab + 5b  \)

7) \( 8mp + 8np — m^2 — 2mn — n^2  \)

8) \( a^3 + b^3 — a^2b — ab^2  \)

9) \( m^3 — 8n^3 — m^2 + 4mn — 4n^2 \)

10) \( a^3 — 4a^2 + 4a — 1  \)

1) \( a^2 — b^2 — a — b = (a — b)(a + b) — (a + b) = \)

\( = (a + b)(a — b — 1) \);

2) \( x — y — x^2 + y^2 = (x — y) — (x^2 — y^2) = (x — y) — (x — y)(x + y) = \)

\( = (x — y)(1 — (x + y)) = (x — y)(1 — x — y) \);

3) \( 4m^2 — 9n^2 + 2m + 3n = (2m — 3n)(2m + 3n) + (2m + 3n) = \)

\( = (2m + 3n)(2m — 3n + 1) \);

4) \( c^2 — d^2 + 4c — 4d = (c — d)(c + d) + 4(c — d) = \)

\( = (c — d)(c + d + 4) \);

5) \( 5x^2y — 5xy^2 — x^2 + y^2 = 5xy(x — y) — (x^2 — y^2) = \)

\( = 5xy(x — y) — (x — y)(x + y) = (x — y)(5xy — (x + y)) = \)

\( = (x — y)(5xy — x — y) \);

6) \( a^2 — 10a + 25 — ab + 5b = (a — 5)^2 — b(a — 5) = \)

\( = (a — 5)(a — 5 — b) \);

7) \( 8mp + 8np — m^2 — 2mn — n^2 = 8p(m + n) — (m^2 + 2mn + n^2) = \)

\( = 8p(m + n) — (m + n)^2 = (m + n)(8p — (m + n)) = \)

\( = (m + n)(8p — m — n) \);

8) \( a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a^3 + b^3) — ab(a + b) = \)

\( = (a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(a + b) = (a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab) = \)

\( = (a + b)(a^2 — 2ab + b^2) = (a + b)(a — b)^2 \);

9) \( m^3 — 8n^3 — m^2 + 4mn — 4n^2 = (m^3 — 8n^3) — (m^2 — 4mn + 4n^2) = \)

\( = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) — (m — 2n)^2 = (m — 2n) \cdot \)

\( \cdot \left(m^2 + 2mn + 4n^2 — (m — 2n)\right) = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 — m + 2n) \);

10) \( a^3 — 4a^2 + 4a — 1 = (a^3 — 1) — (4a^2 — 4a) = \)

\( = (a — 1)(a^2 + a + 1) — 4a(a — 1) = (a — 1)(a^2 + a + 1 — 4a) = \)

\( = (a — 1)(a^2 — 3a + 1) \).

1) \( a^2 — b^2 — a — b = (a — b)(a + b) — (a + b) = (a + b)(a — b — 1) \);

Шаг 1: Начинаем с \( a^2 — b^2 — a — b \). В этом выражении можно выделить общие множители и воспользоваться формулой разности квадратов:
\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \)
Теперь выражение принимает вид:
\( (a — b)(a + b) — (a + b) \)

Шаг 2: В данном выражении можно вынести общий множитель \( (a + b) \):
\( (a + b)(a — b) — (a + b) = (a + b)((a — b) — 1) \)

Шаг 3: Получаем окончательную форму:
\( (a + b)(a — b — 1) \)

2) \( x — y — x^2 + y^2 = (x — y) — (x^2 — y^2) = (x — y) — (x — y)(x + y) = \)
\( = (x — y)(1 — (x + y)) = (x — y)(1 — x — y) \)

Шаг 1: Начинаем с \( x — y — x^2 + y^2 \). В этом выражении можно сгруппировать члены \( — x^2 + y^2 \) и воспользоваться формулой разности квадратов:
\( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \)
Это даёт:
\( (x — y) — (x — y)(x + y) \)

Шаг 2: Теперь можно вынести общий множитель \( (x — y) \):
\( (x — y)(1 — (x + y)) \)

Шаг 3: Преобразуем в окончательную форму:
\( (x — y)(1 — x — y) \)

3) \( 4m^2 — 9n^2 + 2m + 3n = (2m — 3n)(2m + 3n) + (2m + 3n) = \)
\( = (2m + 3n)(2m — 3n + 1) \)

Шаг 1: Начинаем с \( 4m^2 — 9n^2 + 2m + 3n \). В этом выражении выделим разность квадратов \( 4m^2 — 9n^2 \):
\( 4m^2 — 9n^2 = (2m — 3n)(2m + 3n) \)
Это даёт:
\( (2m — 3n)(2m + 3n) + (2m + 3n) \)

Шаг 2: Вынесем общий множитель \( (2m + 3n) \):
\( (2m + 3n)(2m — 3n + 1) \)

4) \( c^2 — d^2 + 4c — 4d = (c — d)(c + d) + 4(c — d) = \)
\( = (c — d)(c + d + 4) \)

Шаг 1: Начинаем с \( c^2 — d^2 + 4c — 4d \). Здесь выделяем разность квадратов \( c^2 — d^2 \):
\( c^2 — d^2 = (c — d)(c + d) \)
Это даёт:
\( (c — d)(c + d) + 4(c — d) \)

Шаг 2: Вынесем общий множитель \( (c — d) \):
\( (c — d)(c + d + 4) \)

5) \( 5x^2y — 5xy^2 — x^2 + y^2 = 5xy(x — y) — (x^2 — y^2) = \)
\( = 5xy(x — y) — (x — y)(x + y) = (x — y)(5xy — (x + y)) = \)
\( = (x — y)(5xy — x — y) \)

Шаг 1: Начинаем с \( 5x^2y — 5xy^2 — x^2 + y^2 \). Сначала сгруппируем термины:
\( 5x^2y — 5xy^2 = 5xy(x — y) \)
Теперь:
\( 5xy(x — y) — (x^2 — y^2) \)

Шаг 2: Применим разность квадратов для \( x^2 — y^2 \):
\( (x^2 — y^2) = (x — y)(x + y) \)
Это даёт:
\( 5xy(x — y) — (x — y)(x + y) \)

Шаг 3: Вынесем общий множитель \( (x — y) \):
\( (x — y)(5xy — (x + y)) = (x — y)(5xy — x — y) \)

6) \( a^2 — 10a + 25 — ab + 5b = (a — 5)^2 — b(a — 5) = \)
\( = (a — 5)(a — 5 — b) \)

Шаг 1: Начинаем с \( a^2 — 10a + 25 — ab + 5b \). Здесь распишем квадрат:
\( a^2 — 10a + 25 = (a — 5)^2 \)
Теперь выражение:
\( (a — 5)^2 — ab + 5b \)

Шаг 2: Вынесем общий множитель \( (a — 5) \):
\( (a — 5)((a — 5) — b) \)

7) \( 8mp + 8np — m^2 — 2mn — n^2 = 8p(m + n) — (m^2 + 2mn + n^2) = \)
\( = 8p(m + n) — (m + n)^2 = (m + n)(8p — (m + n)) = \)
\( = (m + n)(8p — m — n) \)

Шаг 1: Начинаем с \( 8mp + 8np — m^2 — 2mn — n^2 \). Сначала выделим общие множители:
\( 8mp + 8np = 8p(m + n) \)
Теперь:
\( 8p(m + n) — (m^2 + 2mn + n^2) \)

Шаг 2: Используем формулу квадрата суммы:
\( m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2 \)
Это даёт:
\( 8p(m + n) — (m + n)^2 \)

Шаг 3: Вынесем общий множитель \( (m + n) \):
\( (m + n)(8p — (m + n)) = (m + n)(8p — m — n) \)

8) \( a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a^3 + b^3) — ab(a + b) = \)
\( = (a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(a + b) = (a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab) = \)
\( = (a + b)(a^2 — 2ab + b^2) = (a + b)(a — b)^2 \)

Шаг 1: Начинаем с \( a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 \). Разделим на части:
\( (a^3 + b^3) — ab(a + b) \)

Шаг 2: Используем формулу для суммы кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \)
Это даёт:
\( (a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(a + b) \)

Шаг 3: Вынесем общий множитель \( (a + b) \):
\( (a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab) = (a + b)(a^2 — 2ab + b^2) \)

Шаг 4: Получаем:
\( (a + b)(a — b)^2 \)

9) \( m^3 — 8n^3 — m^2 + 4mn — 4n^2 = (m^3 — 8n^3) — (m^2 — 4mn + 4n^2) = \)
\( = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) — (m — 2n)^2 = (m — 2n) \cdot \)
\( \cdot \left(m^2 + 2mn + 4n^2 — (m — 2n)\right) = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 — m + 2n) \)

Шаг 1: Начинаем с \( m^3 — 8n^3 — m^2 + 4mn — 4n^2 \). Применим разность кубов:
\( m^3 — 8n^3 = (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) \)
Теперь выражение:
\( (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) — (m^2 — 4mn + 4n^2) \)

Шаг 2: Вынесем общий множитель \( (m — 2n) \):
\( (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 — (m — 2n)) \)
Это даёт:
\( (m — 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2 — m + 2n) \)

10) \( a^3 — 4a^2 + 4a — 1 = (a^3 — 1) — (4a^2 — 4a) = \)
\( = (a — 1)(a^2 + a + 1) — 4a(a — 1) = (a — 1)(a^2 + a + 1 — 4a) = \)
\( = (a — 1)(a^2 — 3a + 1) \)

Шаг 1: Начинаем с \( a^3 — 4a^2 + 4a — 1 \). Используем разность кубов для \( a^3 — 1 \):
\( a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1) \)
Это даёт:
\( (a — 1)(a^2 + a + 1) — 4a(a — 1) \)

Шаг 2: Вынесем общий множитель \( (a — 1) \):
\( (a — 1)(a^2 + a + 1 — 4a) = (a — 1)(a^2 — 3a + 1) \)