ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \( x^2(x — 2) — 18x(x — 2) + 81x(x — 2)  \)

2) \( 4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) — 9 + y^2  \)

3) \( b^2(a + 1) — a^2(b + 1)  \)

4) \( (a — b)(b^2 — c^2) — (b — c)(a^2 — b^2)  \)

1) \( x^2(x — 2) — 18x(x — 2) + 81x(x — 2) = (x — 2)(x^2 — 18x + 81x) = \)
\( = (x — 2)(x^2 + 63x) = x(x — 2)(x + 63) \);

2) \( 4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) — 9 + y^2 = 4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) + \)
\( + (y^2 — 9) = (y^2 — 9)(4x + 4x^2 + 1) = (y — 3)(y + 3)(2x + 1)^2 \);

3) \( b^2(a + 1) — a^2(b + 1) = ab^2 + b^2 — a^2b — a^2 = (ab^2 — a^2b) + \)
\( + (b^2 — a^2) = ab(b — a) + (b — a)(b + a) = (b — a)(ab + b + a) \);

4) \( (a — b)(b^2 — c^2) — (b — c)(a^2 — b^2) = (a — b)(b — c)(b + c) — \)
\( — (b — c)(a — b)(a + b) = (a — b)(b — c)(b + c — (a + b)) = \)
\( = (a — b)(b — c)(c — a) \)

1) \( x^2(x — 2) — 18x(x — 2) + 81x(x — 2) = (x — 2)(x^2 — 18x + 81x) \)

Рассмотрим выражение: \( x^2(x — 2) — 18x(x — 2) + 81x(x — 2) \).

В данном выражении, мы можем вынести общий множитель \( (x — 2) \) из каждого слагаемого:

Итак, выражение преобразуется в: \( (x — 2)(x^2 — 18x + 81x) \).

Теперь упрощаем внутри скобок: \( x^2 — 18x + 81x = x^2 + 63x \).

Заменив, получаем: \( (x — 2)(x^2 + 63x) \).

Теперь, можно разложить на множители выражение \( x^2 + 63x \), вынеся \( x \) как общий множитель:

Это выражение принимает вид: \( x(x + 63) \).

Итак, окончательное разложение: \( x(x — 2)(x + 63) \).

Ответ: \( x(x — 2)(x + 63) \).

2) \( 4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) — 9 + y^2 = \)

\(= 4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) + (y^2 — 9) \)

Рассмотрим выражение: \( 4x(y^2 — 9) + 4x^2(y^2 — 9) — 9 + y^2 \).

Здесь, снова можно вынести общий множитель \( (y^2 — 9) \) из первых трёх слагаемых:

Получается: \( (y^2 — 9)(4x + 4x^2 + 1) \).

Заменим \( y^2 — 9 \) на разность квадратов: \( y^2 — 9 = (y — 3)(y + 3) \).

Итак, выражение преобразуется в: \( (y — 3)(y + 3)(4x + 4x^2 + 1) \).

Теперь, обратим внимание, что \( (4x + 4x^2 + 1) \) можно упростить. Вынесем \( 4x \) как общий множитель:

Получается: \( (y — 3)(y + 3)(2x + 1)^2 \).

Ответ: \( (y — 3)(y + 3)(2x + 1)^2 \).

3) \( b^2(a + 1) — a^2(b + 1) = ab^2 + b^2 — a^2b — a^2 \)

Рассмотрим выражение: \( b^2(a + 1) — a^2(b + 1) \).

Раскроем скобки:

Получаем: \( b^2a + b^2 — a^2b — a^2 \).

Теперь сгруппируем термины, содержащие \( ab \) и \( a^2 \): \( (ab^2 — a^2b) + (b^2 — a^2) \).

Можно вынести \( ab \) из первого слагаемого, а \( b^2 — a^2 \) разложить на множители:

Итак, получаем: \( ab(b — a) + (b — a)(b + a) \).

Теперь вынесем общий множитель \( (b — a) \):

И окончательное разложение: \( (b — a)(ab + b + a) \).

Ответ: \( (b — a)(ab + b + a) \).

4) \( (a — b)(b^2 — c^2) — (b — c)(a^2 — b^2) =\)

\(= (a — b)(b — c)(b + c) — (b — c)(a — b)(a + b) \)

Рассмотрим выражение: \( (a — b)(b^2 — c^2) — (b — c)(a^2 — b^2) \).

Первое, что стоит заметить, это разность квадратов: \( b^2 — c^2 = (b — c)(b + c) \) и \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \).

Тогда выражение преобразуется в: \( (a — b)(b — c)(b + c) — (b — c)(a — b)(a + b) \).

Теперь вынесем общий множитель \( (a — b)(b — c) \):

Получается: \( (a — b)(b — c)((b + c) — (a + b)) \).

Упростим скобки: \( (b + c) — (a + b) = c — a \).

И итоговое разложение: \( (a — b)(b — c)(c — a) \).

Ответ: \( (a — b)(b — c)(c — a) \).