ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения выражение:

1) \( x^2(x + 4) — 20x(x + 4) + 100(x + 4)  \)

2) \( a^2 — 36 — 2a(36 — a^2) — a^2(36 — a^2)  \)

3) \( a^2(b — 1) — b^2(a — 1)  \)

4) \( (m — n)(n^3 — p^3) — (n — p)(m^3 — n^3)  \)

1) \( x^2(x + 4) — 20x(x + 4) + 100(x + 4) = (x + 4)(x^2 — 20x + 100) = \)
\( = (x + 4)(x — 10)^2 \);

2) \( a^2 — 36 — 2a(36 — a^2) — a^2(36 — a^2) = (a^2 — 36) + 2a(a^2 — 36) + \)
\( + a^2(a^2 — 36) = (a^2 — 36)(1 + 2a + a^2) = (a — 6)(a + 6)(1 + a)^2 \);

3) \( a^2(b — 1) — b^2(a — 1) = a^2b — a^2 — ab^2 + b^2 = (a^2b — ab^2) + \)
\( + (b^2 — a^2) = ab(a — b) — (a — b)(a + b) = (a — b)(ab — a — b) \);

4) \( (m — n)(n^3 — p^3) — (n — p)(m^3 — n^3) = (m — n)(n — p) \cdot \)
\( \cdot (n^2 + np + p^2) — (n — p)(m — n)(m^2 + mn + n^2) = (m — n)(n — p) \cdot \)
\( \cdot (n^2 + np + p^2 — m^2 — mn — n^2) = (m — n)(n — p)(p^2 + np — mn — m^2) \);

1) Рассмотрим выражение:
\( x^2(x + 4) — 20x(x + 4) + 100(x + 4) \).

Заметив, что все слагаемые содержат общий множитель \( (x + 4) \), выделим его:
\( = (x + 4)(x^2 — 20x + 100) \).

Теперь разложим квадратный трёхчлен \( x^2 — 20x + 100 \) на полный квадрат:
\( x^2 — 20x + 100 = (x — 10)^2 \).

Таким образом, выражение примет вид:
\( = (x + 4)(x — 10)^2 \).

2) Рассмотрим следующее выражение:
\( a^2 — 36 — 2a(36 — a^2) — a^2(36 — a^2) \).

Раскроем скобки в каждом слагаемом:
\( = (a^2 — 36) — 2a(36 — a^2) — a^2(36 — a^2) \).

Применим дистрибутивное свойство:
\( = (a^2 — 36) — 2a \cdot 36 + 2a \cdot a^2 — a^2 \cdot 36 + a^2 \cdot a^2 \).

Преобразуем:
\( = (a^2 — 36) — 72a + 2a^3 — 36a^2 + a^4 \).

Теперь сгруппируем подобные члены:
\( = a^4 + 2a^3 — 36a^2 — 72a — 36 \).

Теперь выделим общий множитель \( (a^2 — 36) \) в каждом слагаемом:
\( = (a^2 — 36)(1 + 2a + a^2) \).

Теперь разложим \( (a^2 — 36) \) на множители:
\( a^2 — 36 = (a — 6)(a + 6) \).

Таким образом, получаем окончательное разложение:
\( = (a — 6)(a + 6)(1 + a)^2 \).

3) Рассмотрим выражение:
\( a^2(b — 1) — b^2(a — 1) \).

Раскроем скобки:
\( = a^2b — a^2 — ab^2 + b^2 \).

Теперь сгруппируем подобные члены:
\( = (a^2b — ab^2) + (b^2 — a^2) \).

Выносим общий множитель \( (a — b) \) из первого слагаемого и \( (a + b) \) из второго:
\( = ab(a — b) — (a — b)(a + b) \).

Теперь выносим общий множитель \( (a — b) \):
\( = (a — b)(ab — a — b) \).

4) Рассмотрим выражение:
\( (m — n)(n^3 — p^3) — (n — p)(m^3 — n^3) \).

Раскроем скобки в каждом слагаемом:
\( = (m — n)(n — p)(n^2 + np + p^2) — (n — p)(m — n)(m^2 + mn + n^2) \).

Теперь выносим общий множитель \( (m — n)(n — p) \):
\( = (m — n)(n — p)((n^2 + np + p^2) — (m^2 + mn + n^2)) \).

Упрощаем выражение в скобках:
\( = (m — n)(n — p)(n^2 + np + p^2 — m^2 — mn — n^2) \).

Сокращаем \( n^2 \) в обеих частях выражения:
\( = (m — n)(n — p)(p^2 + np — mn — m^2) \).

Итак, окончательное представление:
\( = (m — n)(n — p)(p^2 + np — mn — m^2) \).