ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( x^3 — 4x = 0 \)

2) \( x^4 — x^2 = 0 \)

3) \( x^5 — 36x^3 = 0 \)

4) \( 9x^3 — x = 0 \)

5) \( x^3 — 10x^2 + 25x = 0 \)

6) \( x^3 + 2x^2 — 9x — 18 = 0 \)

7) \( x^3 — 5x^2 + 4x — 20 = 0 \)

8) \( x^5 — x^4 — x + 1 = 0 \)

1) \( x^3 — 4x = 0 \)
\( x(x^2 — 4) = 0 \)
\( x(x — 2)(x + 2) = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x — 2 = 0 \) или \( x + 2 = 0 \)
\( x = 2 \)      \( x = -2 \).
Ответ: \( x = \pm 2 \); \( x = 0 \).

2) \( x^4 — x^2 = 0 \)
\( x^2(x^2 — 1) = 0 \)
\( x^2(x — 1)(x + 1) = 0 \)
\( x^2 = 0 \) или \( x — 1 = 0 \) или \( x + 1 = 0 \)
\( x = 0 \)    \( x = 1 \)    \( x = -1 \).
Ответ: \( x = \pm 1 \); \( x = 0 \).

3) \( x^5 — 36x^3 = 0 \)
\( x^3(x^2 — 36) = 0 \)
\( x^3(x — 6)(x + 6) = 0 \)
\( x^3 = 0 \) или \( x — 6 = 0 \) или \( x + 6 = 0 \)
\( x = 0 \)    \( x = 6 \)    \( x = -6 \).
Ответ: \( x = \pm 6 \); \( x = 0 \).

4) \( 9x^3 — x = 0 \)
\( x(9x^2 — 1) = 0 \)
\( x(3x — 1)(3x + 1) = 0 \)
\( x = 0 \) или \( 3x — 1 = 0 \) или \( 3x + 1 = 0 \)
\( 3x = 1 \)    \( 3x = -1 \)
\( x = \frac{1}{3} \)    \( x = -\frac{1}{3} \).
Ответ: \( x = \pm \frac{1}{3} \); \( x = 0 \).

5) \( x^3 — 10x^2 + 25x = 0 \)
\( x(x^2 — 10x + 25) = 0 \)
\( x(x — 5)^2 = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x — 5 = 0 \)
\( x = 5 \).
Ответ: \( x = 0 \); \( x = 5 \).

6) \( x^3 + 2x^2 — 9x — 18 = 0 \)
\( x^2(x + 2) — 9(x + 2) = 0 \)
\( (x + 2)(x^2 — 9) = 0 \)
\( (x + 2)(x — 3)(x + 3) = 0 \)
\( x + 2 = 0 \) или \( x — 3 = 0 \) или \( x + 3 = 0 \)
\( x = -2 \)    \( x = 3 \)    \( x = -3 \).
Ответ: \( x = \pm 3 \); \( x = -2 \).

7) \( x^3 — 5x^2 + 4x — 20 = 0 \)
\( x^2(x — 5) + 4(x — 5) = 0 \)
\( (x — 5)(x^2 + 4) = 0 \)
\( x — 5 = 0 \) или \( x^2 + 4 = 0 \)
\( x = 5 \)    \( x^2 = -4 \to \) решений нет.
Ответ: \( x = 5 \).

8) \( x^5 — x^4 — x + 1 = 0 \)
\( x^4(x — 1) — (x — 1) = 0 \)
\( (x — 1)(x^4 — 1) = 0 \)
\( (x — 1)(x^2 — 1)(x^2 + 1) = 0 \)
\( (x — 1)(x — 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0 \)
\( (x — 1)^2(x + 1)(x^2 + 1) = 0 \)
\( x — 1 = 0 \) или \( x + 1 = 0 \) или \( x^2 + 1 = 0 \)
\( x = 1 \)    \( x = -1 \)    \( x^2 = -1 \to \) решений нет.
Ответ: \( x = \pm 1 \).

1) Решим уравнение \( x^3 — 4x = 0 \).

Приведем его к виду: \( x(x^2 — 4) = 0 \), что разлагается как \( x(x — 2)(x + 2) = 0 \).

Теперь, для того чтобы решить это уравнение, приравняем каждый из множителей к нулю.

Первый множитель: \( x = 0 \).
Второй множитель: \( x — 2 = 0 \), отсюда \( x = 2 \).
Третий множитель: \( x + 2 = 0 \), отсюда \( x = -2 \).

Таким образом, решения уравнения: \( x = 0 \), \( x = 2 \), и \( x = -2 \).

Ответ: \( x = \pm 2 \); \( x = 0 \).

2) Решим уравнение \( x^4 — x^2 = 0 \).

Факторизуем его: \( x^2(x^2 — 1) = 0 \), что можно разложить на множители как \( x^2(x — 1)(x + 1) = 0 \).

Приравниваем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x^2 = 0 \), отсюда \( x = 0 \).
Второй множитель: \( x — 1 = 0 \), отсюда \( x = 1 \).
Третий множитель: \( x + 1 = 0 \), отсюда \( x = -1 \).

Таким образом, решения уравнения: \( x = 0 \), \( x = 1 \), и \( x = -1 \).

Ответ: \( x = \pm 1 \); \( x = 0 \).

3) Решим уравнение \( x^5 — 36x^3 = 0 \).

Факторизуем его: \( x^3(x^2 — 36) = 0 \), что разлагается как \( x^3(x — 6)(x + 6) = 0 \).

Приравниваем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x^3 = 0 \), отсюда \( x = 0 \).
Второй множитель: \( x — 6 = 0 \), отсюда \( x = 6 \).
Третий множитель: \( x + 6 = 0 \), отсюда \( x = -6 \).

Таким образом, решения уравнения: \( x = 0 \), \( x = 6 \), и \( x = -6 \).

Ответ: \( x = \pm 6 \); \( x = 0 \).

4) Решим уравнение \( 9x^3 — x = 0 \).

Факторизуем его: \( x(9x^2 — 1) = 0 \), что разлагается как \( x(3x — 1)(3x + 1) = 0 \).

Приравниваем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x = 0 \).
Второй множитель: \( 3x — 1 = 0 \), отсюда \( x = \frac{1}{3} \).
Третий множитель: \( 3x + 1 = 0 \), отсюда \( x = -\frac{1}{3} \).

Таким образом, решения уравнения: \( x = 0 \), \( x = \frac{1}{3} \), и \( x = -\frac{1}{3} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{1}{3} \); \( x = 0 \).

5) Решим уравнение \( x^3 — 10x^2 + 25x = 0 \).

Факторизуем его: \( x(x^2 — 10x + 25) = 0 \), что можно записать как \( x(x — 5)^2 = 0 \).

Приравниваем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x = 0 \).
Второй множитель: \( x — 5 = 0 \), отсюда \( x = 5 \).

Таким образом, решения уравнения: \( x = 0 \) и \( x = 5 \).

Ответ: \( x = 0 \); \( x = 5 \).

6) Решим уравнение \( x^3 + 2x^2 — 9x — 18 = 0 \).

Разделим его на два множителя: \( x^2(x + 2) — 9(x + 2) = 0 \), что можно записать как \( (x + 2)(x^2 — 9) = 0 \).

Продолжаем факторизацию: \( (x + 2)(x — 3)(x + 3) = 0 \).

Приравниваем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x + 2 = 0 \), отсюда \( x = -2 \).
Второй множитель: \( x — 3 = 0 \), отсюда \( x = 3 \).
Третий множитель: \( x + 3 = 0 \), отсюда \( x = -3 \).

Таким образом, решения уравнения: \( x = -2 \), \( x = 3 \), и \( x = -3 \).

Ответ: \( x = \pm 3 \); \( x = -2 \).

7) Решим уравнение \( x^3 — 5x^2 + 4x — 20 = 0 \).

Факторизуем его: \( x^2(x — 5) + 4(x — 5) = 0 \), что можно записать как \( (x — 5)(x^2 + 4) = 0 \).

Приравниваем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x — 5 = 0 \), отсюда \( x = 5 \).
Второй множитель: \( x^2 + 4 = 0 \), но решение этого уравнения не существует, так как \( x^2 = -4 \), что невозможно для действительных чисел.

Таким образом, решение уравнения: \( x = 5 \).

Ответ: \( x = 5 \).

8) Решим уравнение \( x^5 — x^4 — x + 1 = 0 \).

Факторизуем его: \( x^4(x — 1) — (x — 1) = 0 \), что можно записать как \( (x — 1)(x^4 — 1) = 0 \).

Продолжаем факторизацию: \( (x — 1)(x^2 — 1)(x^2 + 1) = 0 \), что разлагается как \( (x — 1)(x — 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0 \).

Записываем в виде: \( (x — 1)^2(x + 1)(x^2 + 1) = 0 \).

Приравниваем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x — 1 = 0 \), отсюда \( x = 1 \).
Второй множитель: \( x + 1 = 0 \), отсюда \( x = -1 \).
Третий множитель: \( x^2 + 1 = 0 \), но решение этого уравнения не существует, так как \( x^2 = -1 \), что невозможно для действительных чисел.

Таким образом, решения уравнения: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Ответ: \( x = \pm 1 \).