ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( x^3 — x = 0 \)

2) \( x^4 + x^2 = 0 \)

3) \( x^4 — 8x^3 = 0 \)

4) \( 49x^3 + 14x^2 + x = 0 \)

5) \( x^3 + x^2 — x — 1 = 0 \)

6) \( x^3 — 4x^2 — 25x + 100 = 0 \)

1) \( x^3 — x = 0 \)
\( x(x^2 — 1) = 0 \)
\( x(x — 1)(x + 1) = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x — 1 = 0 \) или \( x + 1 = 0 \)
\( x = 1 \)    \( x = -1 \).
Ответ: \( x = \pm 1 \); \( x = 0 \).

2) \( x^4 + x^2 = 0 \)
\( x^2(x^2 + 1) = 0 \)
\( x^2 = 0 \) или \( x^2 + 1 = 0 \)
\( x = 0 \)    \( x^2 = -1 \to \) решений нет.
Ответ: \( x = 0 \).

3) \( x^4 — 8x^3 = 0 \)
\( x^3(x — 8) = 0 \)
\( x^3 = 0 \) или \( x — 8 = 0 \)
\( x = 0 \)    \( x = 8 \).
Ответ: \( x = 0 \); \( x = 8 \).

4) \( 49x^3 + 14x^2 + x = 0 \)
\( x(49x^2 + 14x + 1) = 0 \)
\( x(7x + 1)^2 = 0 \)
\( x = 0 \) или \( 7x + 1 = 0 \)
\( 7x = -1 \)
\( x = -\frac{1}{7} \).
Ответ: \( x = -\frac{1}{7} \); \( x = 0 \).

5) \( x^3 + x^2 — x — 1 = 0 \)
\( x^2(x + 1) — (x + 1) = 0 \)
\( (x + 1)(x^2 — 1) = 0 \)
\( (x + 1)(x — 1)(x + 1) = 0 \)
\( (x + 1)^2(x — 1) = 0 \)
\( x + 1 = 0 \) или \( x — 1 = 0 \)
\( x = -1 \)    \( x = 1 \).
Ответ: \( x = \pm 1 \).

6) \( x^3 — 4x^2 — 25x + 100 = 0 \)
\( x^2(x — 4) — 25(x — 4) = 0 \)
\( (x — 4)(x^2 — 25) = 0 \)
\( (x — 4)(x — 5)(x + 5) = 0 \)
\( x — 4 = 0 \) или \( x — 5 = 0 \) или \( x + 5 = 0 \)
\( x = 4 \)    \( x = 5 \)    \( x = -5 \).
Ответ: \( x = \pm 5 \); \( x = 4 \).

1) Решим уравнение \( x^3 — x = 0 \).

Для начала выделим общий множитель: \( x(x^2 — 1) = 0 \).

Теперь у нас есть произведение двух множителей. Согласно основному свойству уравнений, если произведение двух выражений равно нулю, то хотя бы одно из них должно быть равно нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x = 0 \).
Второй множитель: \( x^2 — 1 = 0 \). Это уравнение можно решить как разность квадратов: \( (x — 1)(x + 1) = 0 \), и приравниваем каждый множитель к нулю.
При \( x — 1 = 0 \), получаем \( x = 1 \).
При \( x + 1 = 0 \), получаем \( x = -1 \).

Итак, решения уравнения: \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \).

Ответ: \( x = \pm 1 \); \( x = 0 \).

2) Решим уравнение \( x^4 + x^2 = 0 \).

Для начала выделим общий множитель: \( x^2(x^2 + 1) = 0 \).

Теперь у нас есть произведение двух множителей. Приравняем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x^2 = 0 \), отсюда \( x = 0 \).
Второй множитель: \( x^2 + 1 = 0 \), что не имеет решений в действительных числах, так как \( x^2 = -1 \), а квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, решений нет.

Итак, единственное решение уравнения: \( x = 0 \).

Ответ: \( x = 0 \).

3) Решим уравнение \( x^4 — 8x^3 = 0 \).

Для начала выделим общий множитель: \( x^3(x — 8) = 0 \).

Теперь у нас есть произведение двух множителей. Приравняем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x^3 = 0 \), отсюда \( x = 0 \).
Второй множитель: \( x — 8 = 0 \), отсюда \( x = 8 \).

Итак, решения уравнения: \( x = 0 \) и \( x = 8 \).

Ответ: \( x = 0 \); \( x = 8 \).

4) Решим уравнение \( 49x^3 + 14x^2 + x = 0 \).

Для начала выделим общий множитель: \( x(49x^2 + 14x + 1) = 0 \).

Теперь у нас есть произведение двух множителей. Приравняем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x = 0 \).
Второй множитель: \( 49x^2 + 14x + 1 = 0 \), это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = 14^2 — 4 \cdot 49 \cdot 1 = 196 — 196 = 0 \).

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть единственное решение для уравнения: \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{-14}{2 \cdot 49} = -\frac{1}{7} \).

Итак, решения уравнения: \( x = 0 \) и \( x = -\frac{1}{7} \).

Ответ: \( x = -\frac{1}{7} \); \( x = 0 \).

5) Решим уравнение \( x^3 + x^2 — x — 1 = 0 \).

Для начала выделим общий множитель в первых двух слагаемых и во второй части: \( x^2(x + 1) — (x + 1) = 0 \).

Теперь вынесем общий множитель \( (x + 1) \): \( (x + 1)(x^2 — 1) = 0 \).

Это уравнение можно разложить как \( (x + 1)(x — 1)(x + 1) = 0 \), и приравняем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x + 1 = 0 \), отсюда \( x = -1 \).
Второй множитель: \( x — 1 = 0 \), отсюда \( x = 1 \).

Итак, решения уравнения: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Ответ: \( x = \pm 1 \).

6) Решим уравнение \( x^3 — 4x^2 — 25x + 100 = 0 \).

Для начала выделим общий множитель в первых двух слагаемых и во второй части: \( x^2(x — 4) — 25(x — 4) = 0 \).

Теперь вынесем общий множитель \( (x — 4) \): \( (x — 4)(x^2 — 25) = 0 \).

Продолжаем факторизацию: \( (x — 4)(x — 5)(x + 5) = 0 \).

Приравниваем каждый множитель к нулю:

Первый множитель: \( x — 4 = 0 \), отсюда \( x = 4 \).
Второй множитель: \( x — 5 = 0 \), отсюда \( x = 5 \).
Третий множитель: \( x + 5 = 0 \), отсюда \( x = -5 \).

Итак, решения уравнения: \( x = 4 \), \( x = 5 \), и \( x = -5 \).

Ответ: \( x = \pm 5 \); \( x = 4 \).