ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Является ли тождеством равенство:

1) \( (a — 1)^3 — 9(a — 1) = (a — 1)(a — 4)(a + 2) \)

2) \( (x^2 + 1)^2 — 4x^2 = (x — 1)^2(x + 1)^2 \)

1) \( (a — 1)^3 — 9(a — 1) = (a — 1)(a — 4)(a + 2) \)
\( (a — 1)((a — 1)^2 — 9) = (a — 1)(a — 4)(a + 2) \)
\( (a — 1)(a — 1 — 3)(a — 1 + 3) = (a — 1)(a — 4)(a + 2) \)
\( (a — 1)(a — 4)(a + 2) = (a — 1)(a — 4)(a + 2) \Longrightarrow \) является тождеством.

2) \( (x^2 + 1)^2 — 4x^2 = (x — 1)^2(x + 1)^2 \)
\( (x^2 + 1 — 2x)(x^2 + 1 + 2x) = (x — 1)^2(x + 1)^2 \)
\( (x — 1)^2(x + 1)^2 = (x — 1)^2(x + 1)^2 \Longrightarrow \) является тождеством.

1) \( (a — 1)^3 — 9(a — 1) = (a — 1)(a — 4)(a + 2) \)

Рассмотрим левую часть уравнения. Для удобства выделим общий множитель \( (a — 1) \):

Левая часть: \( (a — 1)^3 — 9(a — 1) = (a — 1)\left[(a — 1)^2 — 9\right] \).
Теперь упростим выражение в квадратных скобках: \( (a — 1)^2 — 9 = a^2 — 2a + 1 — 9 = a^2 — 2a — 8 \).
Таким образом, левая часть уравнения равна: \( (a — 1)(a^2 — 2a — 8) \).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: \( (a — 1)(a — 4)(a + 2) \).
Преобразуем правую часть уравнения: сначала умножим \( (a — 4) \) и \( (a + 2) \):
\( (a — 4)(a + 2) = a^2 + 2a — 4a — 8 = a^2 — 2a — 8 \).
Таким образом, правая часть уравнения будет: \( (a — 1)(a^2 — 2a — 8) \).

Сравнив обе части уравнения, мы видим, что левая и правая части равны, так как обе имеют вид \( (a — 1)(a^2 — 2a — 8) \).

Таким образом, равенство \( (a — 1)^3 — 9(a — 1) = (a — 1)(a — 4)(a + 2) \) является тождеством.

2) Рассмотрим равенство \( (x^2 + 1)^2 — 4x^2 = (x — 1)^2(x + 1)^2 \).

Рассмотрим левую часть уравнения. Раскроем квадрат \( (x^2 + 1)^2 \):

Левая часть: \( (x^2 + 1)^2 — 4x^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) — 4x^2 = x^4 — 2x^2 + 1 \).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения. Раскроем квадраты \( (x — 1)^2 \) и \( (x + 1)^2 \):
\( (x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1 \), и \( (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \).
Теперь умножим эти два выражения: \( (x^2 — 2x + 1)(x^2 + 2x + 1) \). Для этого используем формулу для произведения двучленов: \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \). Здесь \( a = x^2 + 1 \) и \( b = 2x \). Таким образом, произведение будет: \( (x^2 + 1)^2 — (2x)^2 = (x^2 + 1)^2 — 4x^2 \).
Раскроем и упростим выражения: \( (x^2 + 1)^2 — 4x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 — 4x^2 = x^4 — 2x^2 + 1 \).

Сравнив обе части уравнения, мы видим, что левая и правая части равны, так как обе имеют вид \( x^4 — 2x^2 + 1 \).

Таким образом, равенство \( (x^2 + 1)^2 — 4x^2 = (x — 1)^2(x + 1)^2 \) является тождеством.