ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( (a + 2)^3 — 25(a + 2) = (a + 2)(a + 7)(a — 3) \)

2) \( a^2 + 2ab + b^2 — c^2 + 2cd — d^2 = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \)

1) \( (a + 2)^3 — 25(a + 2) = (a + 2)(a + 7)(a — 3) \)
\( (a + 2)((a + 2)^2 — 25) = (a + 2)(a + 7)(a — 3) \)
\( (a + 2)(a + 2 — 5)(a + 2 + 5) = (a + 2)(a + 7)(a — 3) \)
\( (a + 2)(a — 3)(a + 7) = (a + 2)(a + 7)(a — 3) \Longrightarrow \) что и требовалось доказать.

2) \( a^2 + 2ab + b^2 — c^2 + 2cd — d^2 = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \)
\( (a^2 + 2ab + b^2) — (c^2 — 2cd + d^2) = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \)
\( (a + b)^2 — (c — d)^2 = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \)
\( (a + b — (c — d))(a + b + (c — d)) = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \)
\( (a + b — c + d)(a + b + c — d) = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \Longrightarrow \) что и требовалось доказать.

1) \( (a + 2)^3 — 25(a + 2) = (a + 2)(a + 7)(a — 3) \)

Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Мы видим, что \( (a + 2) \) является общим множителем в обеих частях, поэтому выделим его:

Левая часть: \( (a + 2)^3 — 25(a + 2) = (a + 2)\left[(a + 2)^2 — 25\right] \).

Теперь упростим выражение в квадратных скобках: \( (a + 2)^2 — 25 = a^2 + 4a + 4 — 25 = a^2 + 4a — 21 \).
Таким образом, левая часть уравнения теперь имеет вид: \( (a + 2)(a^2 + 4a — 21) \).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: \( (a + 2)(a + 7)(a — 3) \).
Раскроем произведение: сначала умножим \( (a + 7) \) и \( (a — 3) \):
\( (a + 7)(a — 3) = a^2 — 3a + 7a — 21 = a^2 + 4a — 21 \).
Теперь умножим полученное выражение на \( (a + 2) \): \( (a + 2)(a^2 + 4a — 21) \).
Таким образом, правая часть уравнения также будет \( (a + 2)(a^2 + 4a — 21) \).

Сравнив обе части уравнения, мы видим, что левая и правая части идентичны, так как обе имеют вид \( (a + 2)(a^2 + 4a — 21) \).
Следовательно, равенство \( (a + 2)^3 — 25(a + 2) = (a + 2)(a + 7)(a — 3) \) является тождеством.

2) \( a^2 + 2ab + b^2 — c^2 + 2cd — d^2 = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \)

Рассмотрим левую часть уравнения: \( a^2 + 2ab + b^2 — c^2 + 2cd — d^2 \).
Это выражение можно разбить на две части: \( (a^2 + 2ab + b^2) \) и \( (c^2 — 2cd + d^2) \).
Первая часть — это полный квадрат: \( (a + b)^2 \).
Вторая часть — это полный квадрат: \( (c — d)^2 \).
Таким образом, левая часть уравнения будет: \( (a + b)^2 — (c — d)^2 \).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: \( (a + b + c — d)(a + b — c + d) \).
Это произведение можно раскрыть по формуле для разности квадратов: \( (x^2 — y^2) = (x — y)(x + y) \).
Здесь \( x = a + b \), а \( y = c — d \), поэтому правую часть можно записать как:
\( (a + b)^2 — (c — d)^2 \).

Сравнив обе части уравнения, мы видим, что левая и правая части равны, так как обе имеют вид \( (a + b)^2 — (c — d)^2 \).
Следовательно, равенство \( a^2 + 2ab + b^2 — c^2 + 2cd — d^2 = (a + b + c — d)(a + b — c + d) \) является тождеством.