ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите выражение на множители двумя способами:

а) примените формулу разности квадратов;

б) раскройте скобки и примените метод группировки:

1) \( (ab + 1)^2 — (a + b)^2  \); 2) \( (a + 2b)^2 — (ab + 2)^2  \).

a) 1) \( (ab + 1)^2 — (a + b)^2 = (ab + 1 — (a + b))(ab + 1 + a + b) = \)
\( = (ab + 1 — a — b)(ab + 1 + a + b) = ((ab — a) — (b — 1)) \cdot \)
\( \cdot ((ab + a) + (b + 1)) = (a(b — 1) — (b — 1))(a(b + 1) + (b + 1)) = \)
\( = (b — 1)(a — 1)(b + 1)(a + 1) \);

2) \( (a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 = (a + 2b — (ab + 2))(a + 2b + ab + 2) = \)
\( = (a + 2b — ab — 2)(a + 2b + ab + 2) = ((a — ab) — (2 — 2b)) \cdot \)
\( \cdot ((a + ab) + (2 + 2b)) = (a(1 — b) — 2(1 — b))(a(1 + b) + 2(1 + b)) = \)
\( = (1 — b)(a — 2)(1 + b)(a + 2) \).

б) 1) \( (ab + 1)^2 — (a + b)^2 = a^2b^2 + 2ab + 1 — (a^2 + 2ab + b^2) = \)
\( = a^2b^2 + 2ab + 1 — a^2 — 2ab — b^2 = a^2b^2 — a^2 + 1 — b^2 = \)
\( = a^2(b^2 — 1) — (b^2 — 1) = (b^2 — 1)(a^2 — 1) = \)
\( = (b — 1)(b + 1)(a — 1)(a + 1) \);

2) \( (a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 — (a^2b^2 + 4ab + 4) = \)
\( = a^2 + 4ab + 4b^2 — a^2b^2 — 4ab — 4 = a^2 — a^2b^2 + 4b^2 — 4 = \)
\( = a^2(1 — b^2) — 4(1 — b^2) = (1 — b^2)(a^2 — 4) = \)
\( = (1 — b)(1 + b)(a — 2)(a + 2) \).

1) \( (ab + 1)^2 — (a + b)^2 \)

а) Применим формулу разности квадратов: \( (x^2 — y^2) = (x — y)(x + y) \). В данном случае \( x = (ab + 1) \) и \( y = (a + b) \).

Таким образом, мы можем записать:

\( (ab + 1)^2 — (a + b)^2 = \left( (ab + 1) — (a + b) \right) \cdot \left( (ab + 1) + (a + b) \right) \).

Теперь упростим каждую скобку:

\( (ab + 1) — (a + b) = ab + 1 — a — b \), что дает \( ab — a + 1 — b \).
\( (ab + 1) + (a + b) = ab + 1 + a + b \), что дает \( ab + a + b + 1 \).

Таким образом, получаем: \( (ab + 1)^2 — (a + b)^2 = (ab — a — b + 1)(ab + a + b + 1) \).

б) Раскроем скобки и применим метод группировки.

Для начала раскроем квадраты в обеих частях:

\( (ab + 1)^2 = a^2b^2 + 2ab + 1 \), и \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Теперь подставим их в исходное выражение:

\( (ab + 1)^2 — (a + b)^2 = a^2b^2 + 2ab + 1 — (a^2 + 2ab + b^2) \).

Упростим это выражение:

\( = a^2b^2 + 2ab + 1 — a^2 — 2ab — b^2 \), что дает \( a^2b^2 — a^2 + 1 — b^2 \).

Теперь можно выделить общий множитель \( (b^2 — 1) \):

\( = a^2(b^2 — 1) — (b^2 — 1) \).

Здесь можно вынести \( (b^2 — 1) \) за скобки:

\( = (b^2 — 1)(a^2 — 1) \).

Далее применим формулу разности квадратов для \( (a^2 — 1) \): \( a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1) \). Получаем:

\( = (b — 1)(b + 1)(a — 1)(a + 1) \).

Ответ: \( (ab + 1)^2 — (a + b)^2 = (b — 1)(b + 1)(a — 1)(a + 1) \).

2) \( (a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 \)

а) Применим формулу разности квадратов: \( (x^2 — y^2) = (x — y)(x + y) \), где \( x = (a + 2b) \) и \( y = (ab + 2) \).

Таким образом, разложим на множители:

\( (a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 = \left( (a + 2b) — (ab + 2) \right) \cdot \left( (a + 2b) + (ab + 2) \right) \).

Упростим каждую скобку:

\( (a + 2b) — (ab + 2) = a + 2b — ab — 2 = a(1 — b) + 2(b — 1) \),

\( (a + 2b) + (ab + 2) = a + 2b + ab + 2 = a(1 + b) + 2(1 + b) \).

Таким образом, получаем разложение:

\( (a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 = (a(1 — b) + 2(b — 1))(a(1 + b) + 2(1 + b)) \).

б) Раскроем скобки и применим метод группировки.

Для начала раскроем квадраты в обеих частях:

\( (a + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 \), и \( (ab + 2)^2 = a^2b^2 + 4ab + 4 \).

Теперь подставим их в исходное выражение:

\( (a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 — (a^2b^2 + 4ab + 4) \).

Упростим это выражение:

\( = a^2 + 4ab + 4b^2 — a^2b^2 — 4ab — 4 = a^2 — a^2b^2 + 4b^2 — 4 \).

Теперь можно выделить общий множитель \( (1 — b^2) \):

\( = a^2(1 — b^2) — 4(1 — b^2) \).

Здесь можно вынести \( (1 — b^2) \) за скобки:

\( = (1 — b^2)(a^2 — 4) \).

Далее применим формулу разности квадратов для \( (a^2 — 4) \): \( a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2) \). Получаем:

\( = (1 — b^2)(a — 2)(a + 2) \).

Далее раскроем \( (1 — b^2) \) как разность квадратов: \( 1 — b^2 = (1 — b)(1 + b) \). Таким образом:

\( = (1 — b)(1 + b)(a — 2)(a + 2) \).

Ответ: \( (a + 2b)^2 — (ab + 2)^2 = (1 — b)(1 + b)(a — 2)(a + 2) \).