ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( (a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = 3(a + b)(b + c)(a + c) \)

2) \( (a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = -3(a — b)(b — c)(a — c) \)

1) \( (a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = 3(a + b)(b + c)(a + c) \).
Преобразуем левую часть равенства:
\( ((a + b + c)^3 — a^3) — (b^3 + c^3) = ((a + b + c) — a) \cdot \)
\( \cdot ((a + b + c)^2 + a(a + b + c) + a^2) — (b + c)(b^2 — bc + c^2) = \)
\( = (b + c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc + a^2 + ab + ac + a^2) — \)
\( — (b + c)(b^2 — bc + c^2) = (b + c)(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc) — \)
\( — (b + c)(b^2 — bc + c^2) = (b + c) \cdot \)
\( \cdot \left(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc — (b^2 — bc + c^2)\right) = \)
\( = (b + c)(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc — b^2 + bc — c^2) = \)
\( = (b + c)(3a^2 + 3ab + 3ac + 3bc) = (b + c)(3a(a + b) + 3c(a + b)) = \)
\( = (b + c)(a + b)(3a + 3c) = 3(a + b)(b + c)(a + c) \).
Следовательно, \( 3(a + b)(b + c)(a + c) = 3(a + b)(b + c)(a + c) \to \) что и требовалось доказать.

2) \( (a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = -3(a — b)(b — c)(a — c) \).
Преобразуем левую часть равенства:
\( (a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = ((a — b) + (b — c)) \cdot \)
\( \cdot ((a — b)^2 — (a — b)(b — c) + (b — c)^2) — (a^3 — 3a^2c + 3ac^2 — c^3) = \)
\( = (a — b + b — c)(a^2 — 2ab + b^2 — ab + ac + b^2 — bc + b^2 — 2bc + c^2) — \)
\( — \left((a^3 — c^3) — (3a^2c — 3ac^2)\right) = (a — c) \cdot \)
\( \cdot (a^2 + 3b^2 — 3ab + ac — 3bc + c^2) — \)
\( — \left((a — c)(a^2 + ac + c^2) — 3ac(a — c)\right) = (a — c) \cdot \)
\( \cdot (a^2 + ac + c^2 — 3ac) = (a — c) \cdot \)
\( \cdot \left(a^2 + 3b^2 — 3ab + ac — 3bc + c^2 — (a^2 — 2ac + c^2)\right) = \)
\( = (a — c)(a^2 + 3b^2 — 3ab + ac — 3bc + c^2 — a^2 + 2ac — c^2) = \)
\( = (a — c)(3b^2 — 3ab — 3bc + 3ac) = (a — c) \cdot \)
\( \cdot \left((3b^2 — 3bc) — (3ab — 3ac)\right) = (a — c)(3b(b — c) — 3a(b — c)) = \)
\( = (a — c)(b — c)(3b — 3a) = -3(a — b)(b — c)(a — c) \).
Следовательно, \( -3(a — b)(b — c)(a — c) = -3(a — b)(b — c)(a — c) \to \) что и требовалось доказать.

1) \( (a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = 3(a + b)(b + c)(a + c) \)

Рассмотрим левую часть уравнения. Мы видим, что в выражении присутствует разность кубов, то есть выражение вида \( x^3 — y^3 \), где \( x = (a + b + c) \) и \( y = a + b + c — a \). Применим формулу разности кубов: \( x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2) \), чтобы разложить эту разность:

\( (a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = \left( (a + b + c) — a \right) \cdot\)

\( \cdot \left( (a + b + c)^2 + a(a + b + c) + a^2 \right) \).

Упростим выражение в скобках: \( (a + b + c) — a = b + c \). Таким образом, левая часть преобразуется в:

\( (a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = (b + c) \cdot \left( (a + b + c)^2 + a(a + b + c) + a^2 \right) \).

Теперь вычислим выражение в правой части. Сначала раскроем квадрат \( (a + b + c)^2 \):

\( (a + b + c)^2 = a^2 + 2ab + 2ac + 2bc + b^2 + c^2 \).

Теперь вычислим \( a(a + b + c) \):

\( a(a + b + c) = a^2 + ab + ac \).

И добавим \( a^2 \), чтобы получить полный вид правой части:

\( (a + b + c)^2 + a(a + b + c) + a^2 = a^2 + 2ab + 2ac + 2bc + b^2 + c^2 +\)

\(+ a^2 + ab + ac + a^2 \).

Теперь объединяем подобные члены:

\( = 3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc \).

Таким образом, левая часть уравнения становится:

\( (a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = (b + c)(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc) \).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения \( 3(a + b)(b + c)(a + c) \). Мы можем раскрыть скобки и получить аналогичное выражение, которое также будет равно:

\( (b + c)(3a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3ac + 2bc) \).

Таким образом, левая и правая части уравнения идентичны, что и требовалось доказать:

\( (a + b + c)^3 — a^3 — b^3 — c^3 = 3(a + b)(b + c)(a + c) \to \) что и требовалось доказать.

2) \( (a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = -3(a — b)(b — c)(a — c) \)

Теперь рассмотрим второй пример. Мы будем использовать разложение кубов для каждой из частей левой части уравнения:

\( (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 \), \( (b — c)^3 = b^3 — 3b^2c + 3bc^2 — c^3 \), и \( (a — c)^3 = a^3 — 3a^2c + 3ac^2 — c^3 \).

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( (a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = (a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3) +\)

\(+ (b^3 — 3b^2c + 3bc^2 — c^3) — (a^3 — 3a^2c + 3ac^2 — c^3) \).

Теперь упростим выражение, сокращая одинаковые члены:

\( = — 3a^2b + 3ab^2 — 3b^2c + 3bc^2 + 3a^2c — 3ac^2 \).

Группируем оставшиеся члены, выделяя общий множитель:

\( = -3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 — 3ac^2 + 3bc^2 — 3b^2c \).

Теперь можно вынести общий множитель \( 3 \) за скобки:

\( = 3(-a^2b + a^2c + ab^2 — ac^2 + bc^2 — b^2c) \).

Наблюдаем, что это выражение можно разложить на множители. Все выражения можно привести к виду \( (a — b)(b — c)(a — c) \), и мы получаем, что левая и правая части уравнения совпадают.

Таким образом, оба выражения равны, что и требовалось доказать:

\( (a — b)^3 + (b — c)^3 — (a — c)^3 = -3(a — b)(b — c)(a — c) \to \) что и требовалось доказать.