Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Разложите на множители выражение:
1) \( (x — y)(x + y) + 2(x + 3y) — 8 \)
2) \( (2a — 3b)(2a + 3b) — 4(a + 3b) — 3 \)
1) \( (x — y)(x + y) + 2(x + 3y) — 8 = x^2 — y^2 + 2x + 6y — 8 = \)
\( = x^2 + 2x + 1 — y^2 + 6y — 9 = (x^2 + 2x + 1) — (y^2 — 6y + 9) = \)
\( = (x + 1)^2 — (y — 3)^2 = (x + 1 — (y — 3))(x + 1 + y — 3) = \)
\( = (x + 1 — y + 3)(x + y — 2) = (x — y + 4)(x + y — 2) \);
2) \( (2a — 3b)(2a + 3b) — 4(a + 3b) — 3 = 4a^2 — 9b^2 — 4a — 12b — 3 = \)
\( = 4a^2 — 4a + 1 — 9b^2 — 12b — 4 = (4a^2 — 4a + 1) — (9b^2 + 12b + 4) = \)
\( = (2a — 1)^2 — (3b + 2)^2 = (2a — 1 — (3b + 2))(2a — 1 + 3b + 2) = \)
\( = (2a — 1 — 3b — 2)(2a + 3b + 1) = (2a — 3b — 3)(2a + 3b + 1) \).
1) \( (x — y)(x + y) + 2(x + 3y) — 8 \)
Для начала раскроем скобки в каждом из произведений:
Раскроем \( (x — y)(x + y) \) по формуле разности квадратов \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \), где \( a = x \), а \( b = y \):
\( (x — y)(x + y) = x^2 — y^2 \).
Теперь раскроем \( 2(x + 3y) \):
\( 2(x + 3y) = 2x + 6y \).
Подставим все эти выражения в исходное уравнение:
\( (x^2 — y^2) + 2x + 6y — 8 \).
Теперь упростим выражение, группируя подобные члены:
\( x^2 + 2x + 6y — y^2 — 8 \).
Далее, давайте сгруппируем члены таким образом, чтобы выделить полный квадрат для переменной \( x \) и \( y \). Мы видим, что \( x^2 + 2x \) можно привести к полному квадрату, а также \( y^2 — 6y \) можно привести к квадрату:
\( x^2 + 2x = (x + 1)^2 — 1 \), и \( y^2 — 6y = (y — 3)^2 — 9 \).
Подставляем эти выражения в исходное выражение:
\( (x + 1)^2 — 1 — (y — 3)^2 + 9 — 8 \).
Теперь упростим это:
\( (x + 1)^2 — (y — 3)^2 = (x + 1 — (y — 3))(x + 1 + (y — 3)) \).
Это разложение на множители даёт окончательную форму:
\( (x — y + 4)(x + y — 2) \).
Ответ: \( (x — y)(x + y) + 2(x + 3y) — 8 = (x — y + 4)(x + y — 2) \).
2) \( (2a — 3b)(2a + 3b) — 4(a + 3b) — 3 \)
Для начала раскроем скобки в первом произведении, используя формулу разности квадратов \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \), где \( a = 2a \), а \( b = 3b \):
\( (2a — 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 — (3b)^2 = 4a^2 — 9b^2 \).
Теперь раскроем второй множитель \( -4(a + 3b) \):
\( -4(a + 3b) = -4a — 12b \).
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
\( 4a^2 — 9b^2 — 4a — 12b — 3 \).
Группируем подобные члены:
\( 4a^2 — 4a — 9b^2 — 12b — 3 \).
Теперь выделим полный квадрат для переменной \( a \) и \( b \). Мы видим, что \( 4a^2 — 4a \) можно привести к полному квадрату, а также \( -9b^2 — 12b \) можно преобразовать в квадрат:
\( 4a^2 — 4a = 4(a — \frac{1}{2})^2 — 1 \), и \( -9b^2 — 12b = -9(b + \frac{2}{3})^2 + 4 \).
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
\( 4(a — \frac{1}{2})^2 — 1 — 9(b + \frac{2}{3})^2 + 4 — 3 \).
Теперь упростим это:
\( 4(a — \frac{1}{2})^2 — 9(b + \frac{2}{3})^2 = (2a — 1)^2 — (3b + 2)^2 \).
Используя формулу разности квадратов, мы можем разложить выражение на множители:
\( (2a — 1)^2 — (3b + 2)^2 = (2a — 1 — (3b + 2))(2a — 1 + (3b + 2)) \).
Это разложение на множители даёт окончательную форму:
\( (2a — 3b — 3)(2a + 3b + 1) \).
Ответ: \( (2a — 3b)(2a + 3b) — 4(a + 3b) — 3 = (2a — 3b — 3)(2a + 3b + 1) \).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!