ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Значения переменных \( x_1 \) и \( x_2 \) таковы, что выполняются равенства \( x_1 — x_2 = 8 \) и \( x_1x_2 = 5 \). Найдите значение выражения:

1) \( x_1 x_2^2 — x_1^2 x_2 \)

2) \( x_1^2 + x_2^2 \)

3) \( (x_1 + x_2)^2 \)

4) \( x_1^3 — x_2^3 \)

Известно, что \( x_1 — x_2 = 8 \) и \( x_1x_2 = 5 \), тогда:

1) \( x_1x_2^2 — x_1^2x_2 = x_1x_2(x_2 — x_1) = -x_1x_2(x_1 — x_2) = -5 \cdot 8 = -40 \);

2) \( x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 + 2x_1x_2 = (x_1 — x_2)^2 + 2x_1x_2 = \)

\( = 8^2 + 2 \cdot 5 = 64 + 10 = 74 \);

3) \( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 + 4x_1x_2 = \)

\( = (x_1 — x_2)^2 + 4x_1x_2 = 8^2 + 4 \cdot 5 = 64 + 20 = 84 \);

4) \( x_1^3 — x_2^3 = (x_1 — x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 — x_2) \cdot \)

\( \cdot (x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 + 3x_1x_2) = (x_1 — x_2)((x_1 — x_2)^2 + 3x_1x_2) = \)

\( = 8 \cdot (8^2 + 3 \cdot 5) = 8 \cdot (64 + 15) = 8 \cdot 79 = 632 \).

Даны равенства: \( x_1 — x_2 = 8 \), \( x_1x_2 = 5 \). Найдите значение следующих выражений:

1) \( x_1 x_2^2 — x_1^2 x_2 \)

Шаг 1: Разберем выражение \( x_1 x_2^2 — x_1^2 x_2 \). Мы можем вынести общий множитель \( x_1 x_2 \):

\( x_1 x_2^2 — x_1^2 x_2 = x_1 x_2 (x_2 — x_1) \).

Шаг 2: Подставим известные значения \( x_1 — x_2 = 8 \) и \( x_1x_2 = 5 \). Учитывая, что \( x_2 — x_1 = -(x_1 — x_2) = -8 \), получаем:

\( x_1 x_2 (x_2 — x_1) = 5 \cdot (-8) = -40 \).

Таким образом, значение выражения \( x_1 x_2^2 — x_1^2 x_2 \) равно \( -40 \).

2) \( x_1^2 + x_2^2 \)

Шаг 1: Используем формулу разложения квадрата суммы:

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 — x_2)^2 + 2x_1x_2 \).

Шаг 2: Подставим известные значения \( x_1 — x_2 = 8 \) и \( x_1x_2 = 5 \):

\( (x_1 — x_2)^2 + 2x_1x_2 = 8^2 + 2 \cdot 5 = 64 + 10 = 74 \).

Таким образом, значение выражения \( x_1^2 + x_2^2 \) равно \( 74 \).

3) \( (x_1 + x_2)^2 \)

Шаг 1: Используем формулу разложения квадрата суммы:

\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \).

Шаг 2: Подставим выражение для \( x_1^2 + x_2^2 \) из предыдущего шага и значение \( x_1x_2 = 5 \):

\( x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = 74 + 2 \cdot 5 = 74 + 10 = 84 \).

Таким образом, значение выражения \( (x_1 + x_2)^2 \) равно \( 84 \).

4) \( x_1^3 — x_2^3 \)

Шаг 1: Используем формулу разности кубов:

\( x_1^3 — x_2^3 = (x_1 — x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) \).

Шаг 2: Подставим известные значения \( x_1 — x_2 = 8 \) и \( x_1x_2 = 5 \). Для выражения \( x_1^2 + x_2^2 \) используем результат из второго шага:

\( x_1^2 + x_2^2 = 74 \).

Шаг 3: Получаем:

\( x_1^3 — x_2^3 = (x_1 — x_2)((x_1 — x_2)^2 + 3x_1x_2) = 8 \cdot (8^2 + 3 \cdot 5) =\)

\(= 8 \cdot (64 + 15) = 8 \cdot 79 = 632 \).

Таким образом, значение выражения \( x_1^3 — x_2^3 \) равно \( 632 \).