ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \( x^4 + 4x^3 + 4x^2 — 9 \)

2) \( y^8 — y^4 + 4y^2 — 4 \)

3) \( (x + 2y)(x + 2y + 2) — (y — 1)(y + 1) \)

1) \( x^4 + 4x^3 + 4x^2 — 9 = x^2(x^2 + 4x + 4) — 9 = x^2(x + 2)^2 — 9 = \)

\( = (x(x + 2))^2 — 3^2 = (x(x + 2) — 3)(x(x + 2) + 3) = \)

\( = (x^2 + 2x — 3)(x^2 + 2x + 3) \);

2) \( y^8 — y^4 + 4y^2 — 4 = y^8 — (y^4 — 4y^2 + 4) = (y^4)^2 — (y^2 — 2)^2 = \)

\( = (y^4 — y^2 + 2)(y^4 + y^2 — 2) \);

3) \( (x + 2y)(x + 2y + 2) — (y — 1)(y + 1) = (x + 2y)^2 + 2(x + 2y) — y^2 + \)

\( + 1 = (x + 2y)^2 + 2(x + 2y) + 1 — y^2 = (x + 2y + 1)^2 — y^2 = \)

\( = (x + 2y + 1 — y)(x + 2y + 1 + y) = (x + y + 1)(x + 3y + 1) \).

1) \( x^4 + 4x^3 + 4x^2 — 9 \)

Шаг 1: Разделим на множители. Начнем с выделения общего множителя \( x^2 \) из первых трех слагаемых:

\( x^4 + 4x^3 + 4x^2 = x^2(x^2 + 4x + 4) \).

Шаг 2: Теперь у нас выражение \( x^2(x^2 + 4x + 4) — 9 \). Заметим, что \( x^2 + 4x + 4 \) можно записать как полный квадрат:

\( x^2(x + 2)^2 — 9 \).

Шаг 3: Это выражение можно привести к разности квадратов \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), где \( a = x(x + 2) \) и \( b = 3 \):

\( = (x(x + 2))^2 — 3^2 = (x(x + 2) — 3)(x(x + 2) + 3) \).

Шаг 4: Теперь раскроем скобки в каждом множителе:

\( = (x^2 + 2x — 3)(x^2 + 2x + 3) \).

Таким образом, разложение многочлена \( x^4 + 4x^3 + 4x^2 — 9 \) на множители будет следующим:

\( (x^2 + 2x — 3)(x^2 + 2x + 3) \);

2) \( y^8 — y^4 + 4y^2 — 4 \)

Шаг 1: Рассмотрим выражение \( y^8 — y^4 + 4y^2 — 4 \). Разделим его на два слагаемых:

\( y^8 — (y^4 — 4y^2 + 4) \).

Шаг 2: Мы видим, что второе выражение \( y^4 — 4y^2 + 4 \) является полным квадратом:

\( y^4 — 4y^2 + 4 = (y^2 — 2)^2 \).

Шаг 3: Теперь получаем выражение для разности квадратов:

\( y^8 — (y^2 — 2)^2 = (y^4)^2 — (y^2 — 2)^2 \).

Шаг 4: Применяем формулу разности квадратов \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), где \( a = y^4 \) и \( b = y^2 — 2 \):

\( = (y^4 — y^2 + 2)(y^4 + y^2 — 2) \).

Таким образом, разложение многочлена \( y^8 — y^4 + 4y^2 — 4 \) на множители будет следующим:

\( (y^4 — y^2 + 2)(y^4 + y^2 — 2) \);

3) \( (x + 2y)(x + 2y + 2) — (y — 1)(y + 1) \)

Шаг 1: Раскроем скобки в обоих произведениях. Начнем с первого произведения:

\( (x + 2y)(x + 2y + 2) = (x + 2y)^2 + 2(x + 2y) \).

Шаг 2: Раскроем второе произведение:

\( (y — 1)(y + 1) = y^2 — 1 \).

Шаг 3: Теперь подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

\( (x + 2y)^2 + 2(x + 2y) — y^2 + 1 \).

Шаг 4: Сгруппируем слагаемые:

\( = (x + 2y)^2 + 2(x + 2y) + 1 — y^2 \).

Шаг 5: Попробуем преобразовать это выражение. Увидим, что оно имеет вид разности квадратов:

\( = (x + 2y + 1)^2 — y^2 \).

Шаг 6: Применяем формулу разности квадратов:

\( = (x + 2y + 1 — y)(x + 2y + 1 + y) \).

Шаг 7: Упростим выражения в скобках:

\( = (x + y + 1)(x + 3y + 1) \).

Таким образом, разложение выражения \( (x + 2y)(x + 2y + 2) — (y — 1)(y + 1) \) на множители будет следующим:

\( (x + y + 1)(x + 3y + 1) \).