ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

О положительных числах a и b известно, что a² + b = b² + a. Верно ли, что a = b?

Известно, что \( a^2 + b = b^2 + a \), тогда:

\( a^2 + b — b^2 — a = 0 \)

\( (a^2 — b^2) — (a — b) = 0 \)

\( (a — b)(a + b) — (a — b) = 0 \)

\( (a — b)(a + b — 1) = 0 \)

\( a — b = 0 \) или \( a + b — 1 = 0 \)

\( a = b \).

Следовательно, верно, что \( a = b \).

Ответ: верно.

Дано, что \( a^2 + b = b^2 + a \), где \( a \) и \( b \) — положительные числа. Нужно выяснить, верно ли, что \( a = b \).

Шаг 1: Начнем с того, что у нас есть равенство:

\( a^2 + b = b^2 + a \).

Шаг 2: Переносим все слагаемые на одну сторону, чтобы упростить выражение:

\( a^2 + b — b^2 — a = 0 \).

Шаг 3: Группируем слагаемые по похожим типам выражений:

\( (a^2 — b^2) — (a — b) = 0 \).

Шаг 4: Применяем формулу разности квадратов для \( a^2 — b^2 \), которая имеет вид \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \):

\( (a — b)(a + b) — (a — b) = 0 \).

Шаг 5: Вынесем общий множитель \( (a — b) \) из каждого слагаемого:

\( (a — b)(a + b — 1) = 0 \).

Шаг 6: Теперь у нас есть произведение двух выражений. Это выражение будет равно нулю, если хотя бы одно из множителей равно нулю. Таким образом, у нас есть два возможных случая:

\( a — b = 0 \) или \( a + b — 1 = 0 \).

Шаг 7: Рассмотрим первый случай \( a — b = 0 \). Это означает, что \( a = b \).

Шаг 8: Во втором случае \( a + b — 1 = 0 \), из этого выражения получаем, что \( a + b = 1 \). Но так как \( a \) и \( b \) положительные числа, то их сумма не может быть равна 1. Следовательно, этот случай не подходит.

Шаг 9: Таким образом, единственным верным решением является \( a = b \).

Ответ: да, верно, что \( a = b \).