ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 21.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n, отличном от 1, значение выражения \( n^8 + n^4 + 1 \) является составным числом.

\( n^8 + n^4 + 1 = n^8 + 2n^4 + 1 — n^4 = (n^4 + 1)^2 — (n^2)^2 = \)

\( = (n^4 + 1 — n^2)(n^4 + 1 + n^2) \).

Так как данное выражение можно представить в виде произведения двух множителей, то оно является составным числом.

Следовательно, значение данного выражения является составным числом.

Что и требовалось доказать.

Дано выражение \( n^8 + n^4 + 1 \), где \( n \) — натуральное число, отличное от 1. Нужно доказать, что это выражение является составным числом для всех значений \( n \), отличных от 1.

Шаг 1: Преобразуем выражение:

\( n^8 + n^4 + 1 = n^8 + 2n^4 + 1 — n^4 \).

Шаг 2: Запишем первые три слагаемых как полный квадрат:

\( n^8 + 2n^4 + 1 = (n^4 + 1)^2 \).

Таким образом, выражение принимает вид:

\( (n^4 + 1)^2 — n^4 \).

Шаг 3: Применяем формулу разности квадратов \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), где \( a = n^4 + 1 \) и \( b = n^2 \):

\( (n^4 + 1)^2 — (n^2)^2 = (n^4 + 1 — n^2)(n^4 + 1 + n^2) \).

Шаг 4: Теперь выражение \( (n^4 + 1 — n^2)(n^4 + 1 + n^2) \) является произведением двух выражений:

\( (n^4 + 1 — n^2) \) и \( (n^4 + 1 + n^2) \).

Шаг 5: Замечаем, что оба множителя больше единицы при любом \( n \), отличном от 1. Следовательно, выражение \( n^8 + n^4 + 1 \) является составным числом для всех натуральных чисел \( n \), отличных от 1.

Таким образом, доказано, что при любом натуральном значении \( n \), отличном от 1, значение выражения \( n^8 + n^4 + 1 \) является составным числом.