ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \( a^7 — b^7  \)

2) \( a^7 + b^7\)

3) \( x^9 — 1 \)

4) \( x^5 + 1  \)

5) \( y^5 — 32  \)

6) \( m^{10} + n^5 \)

7) \( x^7y^{14} + 1 \)

8) \( a^5b^{10} + c^{15}  \)

1) \( a^7 — b^7 = (a — b)(a^6 + a^5b + a^4b^2 + a^3b^3 + a^2b^4 + ab^5 + b^6) \);

2) \( a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 — a^5b + a^4b^2 — a^3b^3 + a^2b^4 — ab^5 + b^6) \);

3) \( x^9 — 1 = (x — 1)(x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \);

4) \( x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 — x^3 + x^2 — x + 1) \);

5) \( y^5 — 32 = y^5 — 2^5 = (y — 2)(y^4 + y^3 \cdot 2 + y^2 \cdot 2^2 + y \cdot 2^3 + 2^4) = \)

\( = (y — 2)(y^4 + 2y^3 + 4y^2 + 8y + 16) \);

6) \( m^{10} + n^5 = (m^2)^5 + n^5 = (m^2 + n)(m^8 — m^6n + m^4n^2 — m^2n^3 + n^4) \);

7) \( x^7y^{14} + 1 = (xy^2)^7 + 1 = (xy^2 + 1) \cdot \)

\( \cdot (x^6y^{12} — x^5y^{10} + x^4y^8 — x^3y^6 + x^2y^4 — xy^2 + 1) \);

8) \( a^5b^{10} + c^{15} = (ab^2)^5 + (c^3)^5 = (ab^2 + c^3) \cdot \)

\( \cdot (a^4b^8 — a^3b^6c^3 + a^2b^4c^6 — ab^2c^9 + c^{12}) \).

1) \( a^7 — b^7 = (a — b)(a^6 + a^5b + a^4b^2 + a^3b^3 + a^2b^4 + ab^5 + b^6) \);

Для разложения выражения \( a^7 — b^7 \), используем стандартную формулу разности степеней:

\( a^n — b^n = (a — b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + b^{n-1}) \),

где \( n \) — это степень, к которой возводятся переменные \(a\) и \(b\). В случае с разностью седьмых степеней, формула примет вид:

\( a^7 — b^7 = (a — b)(a^6 + a^5b + a^4b^2 + a^3b^3 + a^2b^4 + ab^5 + b^6) \).

Здесь \( a^6 + a^5b + a^4b^2 + a^3b^3 + a^2b^4 + ab^5 + b^6 \) — это сумма, в которой каждый следующий член является произведением переменных \(a\) и \(b\), при этом степень \(a\) уменьшается, а степень \(b\) увеличивается. Таким образом, мы разделили выражение на два множителя: \( a — b \) и многочлен второй скобки, который представляет собой полином в степенях от \(a\) и \(b\).

2) \( a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 — a^5b + a^4b^2 — a^3b^3 + a^2b^4 — ab^5 + b^6) \);

В случае суммы степеней, используем аналогичную формулу для суммы степеней:

\( a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} — a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 — \dots + b^{n-1}) \),

где снова \( n \) — это степень, к которой возводятся переменные. В случае с суммой седьмых степеней, формула будет следующей:

\( a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 — a^5b + a^4b^2 — a^3b^3 + a^2b^4 — ab^5 + b^6) \).

В отличие от разности степеней, где члены второй скобки имели все одинаковые знаки, при сумме степени знаки чередуются: \( +, -, +, -, \dots \). Таким образом, мы получаем разложение суммы степеней, где первый множитель — это \( a + b \), а второй множитель представляет собой многочлен, в котором чередуются знаки.

3) \( x^9 — 1 = (x — 1)(x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \);

Для разложения \( x^9 — 1 \) на множители, используется известная формула для разности девятых степеней:

\( x^n — 1 = (x — 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + x^{n-3} + \dots + x + 1) \),

где \( n \) — степень, к которой возводится переменная \( x \). В данном случае, \( n = 9 \), и формула для разложения будет выглядеть так:

\( x^9 — 1 = (x — 1)(x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \).

Члены второй скобки представляют собой сумму степеней переменной \(x\), начиная с \(x^8\) и заканчивая \(x^0\). Это стандартная структура для разложения выражений вида \( x^n — 1 \), где \( n \) кратно 9.

4) \( x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 — x^3 + x^2 — x + 1) \);

Для разложения выражения \( x^5 + 1 \) используем схожую формулу для суммы степеней, которая будет выглядеть следующим образом:

\( x^n + 1 = (x + 1)(x^{n-1} — x^{n-2} + x^{n-3} — \dots + x + 1) \),

где \( n = 5 \), и разложение примет следующий вид:

\( x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 — x^3 + x^2 — x + 1) \).

Эта формула используется для разложения выражений вида \( x^n + 1 \), где \( n \) кратно 5. Как и в предыдущем случае, члены второй скобки чередуют знаки: \( +, -, +, -, \dots \).

5) \( y^5 — 32 = y^5 — 2^5 = (y — 2)(y^4 + y^3 \cdot 2 + y^2 \cdot 2^2 + y \cdot 2^3 + 2^4) = \)

\( = (y — 2)(y^4 + 2y^3 + 4y^2 + 8y + 16) \);

Здесь разложение происходит для выражения \( y^5 — 32 \), где 32 — это \( 2^5 \). Мы можем записать это как:

\( y^5 — 32 = y^5 — 2^5 = (y — 2)(y^4 + y^3 \cdot 2 + y^2 \cdot 2^2 + y \cdot 2^3 + 2^4) \).

Сумма внутри скобки получается как последовательность степеней числа 2, умноженных на соответствующие степени переменной \(y\). В итоге мы получаем:

\( = (y — 2)(y^4 + 2y^3 + 4y^2 + 8y + 16) \).

Это стандартное разложение для выражений вида \( a^5 — b^5 \), где \( b = 2 \).

6) \( m^{10} + n^5 = (m^2)^5 + n^5 = (m^2 + n)(m^8 — m^6n + m^4n^2 — m^2n^3 + n^4) \);

В этом случае разложение происходит для выражения \( m^{10} + n^5 \), которое можно записать как \( (m^2)^5 + n^5 \). Используем формулу для суммы степеней вида \( x^n + y^n \):

\( x^n + y^n = (x + y)(x^{n-1} — x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 — \dots + y^{n-1}) \),

и получаем:

\( m^{10} + n^5 = (m^2)^5 + n^5 = (m^2 + n)(m^8 — m^6n + m^4n^2 — m^2n^3 + n^4) \).

7) \( x^7y^{14} + 1 = (xy^2)^7 + 1 = (xy^2 + 1) \cdot \)

\( \cdot (x^6y^{12} — x^5y^{10} + x^4y^8 — x^3y^6 + x^2y^4 — xy^2 + 1) \);

Здесь выражение \( x^7y^{14} + 1 \) можно записать как \( (xy^2)^7 + 1 \), и разложить его с использованием формулы для суммы степеней вида \( x^n + 1 \):

\( x^n + 1 = (x + 1)(x^{n-1} — x^{n-2} + \dots + 1) \),

что дает следующее разложение:

\( x^7y^{14} + 1 = (xy^2)^7 + 1 = (xy^2 + 1) \cdot (x^6y^{12} — x^5y^{10} + x^4y^8 -\)

\(- x^3y^6 + x^2y^4 — xy^2 + 1) \).

8) \( a^5b^{10} + c^{15} = (ab^2)^5 + (c^3)^5 = (ab^2 + c^3) \cdot \)

\( \cdot (a^4b^8 — a^3b^6c^3 + a^2b^4c^6 — ab^2c^9 + c^{12}) \);

Для выражения \( a^5b^{10} + c^{15} \), оно записывается как \( (ab^2)^5 + (c^3)^5 \), и разлагается следующим образом:

\( a^5b^{10} + c^{15} = (ab^2)^5 + (c^3)^5 = (ab^2 + c^3) \cdot (a^4b^8 — a^3b^6c^3 +\)

\(+ a^2b^4c^6 — ab^2c^9 + c^{12}) \).