ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( 3^{99} + 3^{98} \cdot 2 + 3^{97} \cdot 2 + \dots + 3 \cdot 2^{98} + 2^{99} + 2^{100} \)

2) \( 4^{20} — 4^{19} \cdot 3 + 4^{18} \cdot 3^2 — \dots — 4 \cdot 3^{19} + 3^{20} \)

1) \( 3^{99} + 3^{98} \cdot 2 + 3^{97} \cdot 2 + \dots + 3 \cdot 2^{98} + 2^{99} + 2^{100} = \)

\( = \frac{(3 — 2)(3^{99} + 3^{98} \cdot 2 + 3^{97} \cdot 2 + \dots + 3 \cdot 2^{98} + 2^{99} + 2^{100})}{3 — 2} = \)

\( = \frac{3^{100} — 2^{101}}{1} = 3^{100} — 2^{101} \).

2) \( 4^{20} — 4^{19} \cdot 3 + 4^{18} \cdot 3^2 — \dots — 4 \cdot 3^{19} + 3^{20} = \)

\( = \frac{(4 + 3)(4^{20} — 4^{19} \cdot 3 + 4^{18} \cdot 3^2 — \dots — 4 \cdot 3^{19} + 3^{20})}{4 + 3} = \frac{4^{21} + 3^{21}}{7} \).

1) Упростим выражение \( 3^{99} + 3^{98} \cdot 2 + 3^{97} \cdot 2 + \dots + 3 \cdot 2^{98} + 2^{99} + 2^{100} \):

Начнем с того, что выделим общий множитель для всех членов в сумме:

\( 3^{99} + 3^{98} \cdot 2 + 3^{97} \cdot 2 + \dots + 3 \cdot 2^{98} + 2^{99} + 2^{100} = \sum_{k=0}^{99} 3^{99-k} \cdot 2^k \).

Можно представить эту сумму в виде разности:

\( \sum_{k=0}^{99} 3^{99-k} \cdot 2^k = \frac{3^{100} — 2^{101}}{1} \) (по формуле для суммы геометрической прогрессии).

Таким образом, получаем упрощение:

\( 3^{100} — 2^{101} \)

2) Упростим выражение \( 4^{20} — 4^{19} \cdot 3 + 4^{18} \cdot 3^2 — \dots — 4 \cdot 3^{19} + 3^{20} \):

Аналогично, выделяем общий множитель для всех членов:

\( 4^{20} — 4^{19} \cdot 3 + 4^{18} \cdot 3^2 — \dots — 4 \cdot 3^{19} + 3^{20} = \sum_{k=0}^{20} 4^{20-k} \cdot 3^k \).

Это также сумма, которую можно представить в виде разности:

\( \sum_{k=0}^{20} 4^{20-k} \cdot 3^k = \frac{4^{21} + 3^{21}}{7} \) (по формуле для суммы геометрической прогрессии).

Таким образом, получаем упрощение:

\( \frac{4^{21} + 3^{21}}{7} \)