ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что n и a — натуральные числа (n > 1), а значение выражения \( a^n — 1 \)1 является простым числом. Найдите a.

\( a^n — 1 = (a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) \).

Значение выражения является простым числом, если один из множителей равен 1, а второй — простому числу.

Тогда:

\( a — 1 = 1 \Longrightarrow a = 2 \).

Ответ: \( a = 2 \).

Рассмотрим выражение \( a^n — 1 \), где \( a \) и \( n \) — натуральные числа, при этом \( n > 1 \). Нам известно, что значение этого выражения является простым числом. Нужно найти значение \( a \).

Рассмотрим разложение выражения \( a^n — 1 \) на множители:

\( a^n — 1 = (a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1) \).

Теперь важно заметить, что если \( a^n — 1 \) является простым числом, то один из множителей должен быть равен 1, а другой должен быть простым числом. Рассмотрим оба множителя:

• Первый множитель: \( a — 1 \).
• Второй множитель: \( a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1 \).

Если \( a^n — 1 \) является простым числом, то один из множителей должен быть равен 1. Рассмотрим первый множитель:

\( a — 1 = 1 \Longrightarrow a = 2 \).

Теперь подставим \( a = 2 \) в исходное выражение и проверим, что значение \( a^n — 1 \) будет простым числом. Для \( a = 2 \) получаем:

\( 2^n — 1 \), где \( n > 1 \).

Проверим для нескольких значений \( n \):

• Для \( n = 2 \), \( 2^2 — 1 = 3 \), что является простым числом.
• Для \( n = 3 \), \( 2^3 — 1 = 7 \), что также является простым числом.
• Для \( n = 4 \), \( 2^4 — 1 = 15 \), что не является простым числом.

Таким образом, для \( a = 2 \), выражение \( a^n — 1 \) будет простым числом только для \( n = 2 \) и \( n = 3 \).

Ответ: \( a = 2 \).