ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что значение выражения \( 2^n + 1 \), где n — натуральное число, является простым числом. Докажите, что либо n = 1, либо n — степень числа 2.

\( 2^n + 1 = (2 + 1)(2^{n-1} — 2^{n-2} + 2^{n-3} — \dots — 2 + 1) = \)

\( = 3 \cdot (2^{n-1} — 2^{n-2} + 2^{n-3} — \dots — 1) \).

Значение выражения является простым числом, если один из множителей равен 1, а второй — простому числу.

Так как число 3 — простое, то:

\( 2^{n-1} — 2^{n-2} + 2^{n-3} — \dots — 1 = 1 \), тогда:

\( 2^n + 1 = 3 \cdot 1 = 3 \), причем:

• если \( n = 1 \), то \( 2^1 + 1 = 3 \to \) простое число;
• если \( n > 1 \), то \( n = 2^k \), где \( k \in \mathbb{N} \).

Что и требовалось доказать.

Задано выражение \( 2^n + 1 \), где \( n \) — натуральное число, и известно, что оно является простым числом. Нужно доказать, что либо \( n = 1 \), либо \( n \) — степень числа 2.

Начнем с разложения выражения \( 2^n + 1 \) на множители:

По формуле разности квадратов мы можем представить \( 2^n + 1 \) следующим образом:

\( 2^n + 1 = (2 + 1)(2^{n-1} — 2^{n-2} + 2^{n-3} — \dots — 2 + 1) \),

что эквивалентно:

\( 2^n + 1 = 3 \cdot (2^{n-1} — 2^{n-2} + 2^{n-3} — \dots — 1) \).

Рассмотрим возможные случаи для того, чтобы выражение \( 2^n + 1 \) было простым числом:

1. Если \( n = 1 \), то получаем:

\( 2^1 + 1 = 3 \), что является простым числом.

2. Если \( n > 1 \), то для того, чтобы \( 2^n + 1 \) оставалось простым числом, второй множитель в разложении \( 2^{n-1} — 2^{n-2} + 2^{n-3} — \dots — 1 \) должен быть равен 1, так как если второй множитель больше 1, то произведение будет составным числом.

Так как второй множитель — это сумма степеней числа 2, то он равен 1 только в том случае, если \( n \) является степенью числа 2. Это можно доказать, если рассмотреть для \( n = 2^k \), где \( k \in \mathbb{N} \). Для таких значений \( n \) выражение \( 2^{n-1} — 2^{n-2} + \dots — 1 \) будет равняться 1.

Таким образом, доказано, что либо \( n = 1 \), либо \( n \) — степень числа 2.

Ответ: либо \( n = 1 \), либо \( n = 2^k \), где \( k \in \mathbb{N} \).