Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения \( 1^{101} + 2^{101} + 3^{101} + \dots + 30^{101} \) делится нацело на 31.
\( 1^{101} + 2^{101} + 3^{101} + \dots + 30^{101} = (1^{101} + 30^{101}) + (2^{101} + 29^{101}) + \)
\( + \dots + (15^{101} + 16^{101}) = (1 + 30)(1^{100} — 1^{99} \cdot 30 + \dots + 30^{100}) + \)
\( + (2 + 29)(2^{100} — 2^{99} \cdot 29 + \dots + 29^{100}) + \dots + (15 + 16) \cdot \)
\( \cdot (15^{100} — 15^{99} \cdot 16 + \dots + 16^{100}) = 31(1^{100} — 1^{99} \cdot 30 + \dots + 30^{100}) + \)
\( + 31(2^{100} — 2^{99} \cdot 29 + \dots + 29^{100}) + \dots + 31 \cdot \)
\( \cdot (15^{100} — 15^{99} \cdot 16 + \dots + 16^{100}) = \)
\( = 31 \cdot (1^{100} — 1^{99} \cdot 30 + \dots + 30^{100} + 2^{100} — 2^{99} \cdot 29 + \dots + 29^{100} + \)
\( + 15^{100} — 15^{99} \cdot 16 + \dots + 16^{100}) \to \) делится нацело на 31, так как один из множителей кратен 31.
Что и требовалось доказать.
Дано выражение \( 1^{101} + 2^{101} + 3^{101} + \dots + 30^{101} \). Нужно доказать, что оно делится нацело на 31.
Для удобства рассмотрим выражение как сумму попарных слагаемых:
\( 1^{101} + 2^{101} + 3^{101} + \dots + 30^{101} = (1^{101} + 30^{101}) + (2^{101} + 29^{101}) +\)
\(+ \dots + (15^{101} + 16^{101}) \).
Теперь разложим каждую пару в произведение:
\( (a^{101} + b^{101}) = (a + b)(a^{100} — a^{99} \cdot b + a^{98} \cdot b^2 — \dots + b^{100}) \), где \( a + b = 31 \) для каждой пары: \( (1 + 30), (2 + 29), (3 + 28), \dots, (15 + 16) \).
Заменим выражения на соответствующие множители:
\( (1^{101} + 30^{101}) = (1 + 30)(1^{100} — 1^{99} \cdot 30 + \dots + 30^{100}) =\)
\(= 31 \cdot (1^{100} — 1^{99} \cdot 30 + \dots + 30^{100}) \),
\( (2^{101} + 29^{101}) = (2 + 29)(2^{100} — 2^{99} \cdot 29 + \dots + 29^{100}) =\)
\(= 31 \cdot (2^{100} — 2^{99} \cdot 29 + \dots + 29^{100}) \),
и так далее, до:
\( (15^{101} + 16^{101}) = (15 + 16)(15^{100} — 15^{99} \cdot 16 + \dots + 16^{100}) =\)
\(= 31 \cdot (15^{100} — 15^{99} \cdot 16 + \dots + 16^{100}) \).
Теперь соберем все эти выражения вместе:
\( (1^{101} + 30^{101}) + (2^{101} + 29^{101}) + \dots + (15^{101} + 16^{101}) =\)
\(= 31 \cdot (1^{100} — 1^{99} \cdot 30 + \dots + 30^{100} + 2^{100} — 2^{99} \cdot 29 + \dots + 29^{100} +\)
\(+ \dots + 15^{100} — 15^{99} \cdot 16 + \dots + 16^{100}) \).
Таким образом, вся сумма делится на 31, так как каждый множитель в выражении кратен 31. Следовательно, выражение \( 1^{101} + 2^{101} + 3^{101} + \dots + 30^{101} \) делится нацело на 31.
Что и требовалось доказать.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!