ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( (1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = (1 + x + x^2 + x^3)^2 \).

2) \( (1 + x + x^2 + x^3)(1 + x + x^2 + \dots + x^7) = \)
\( = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2 \).

1) \( (1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = (1 + x + x^2 + x^3)^2 \).
Умножим обе части уравнения на \( (1 — x)^2 \), где
\( (1 — x)^2 \ne 0 \Longrightarrow 1 — x \ne 0 \Longrightarrow x \ne 1 \):
\( (1 — x)(1 + x + x^2)(1 — x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = \)
\( = (1 — x)^2(1 + x + x^2 + x^3)^2 \)
\( (1 — x^3)(1 — x^5) = (1 — x^4)^2 \)
\( 1 — x^5 — x^3 + x^8 = 1 — 2x^4 + x^8 \)
\( 1 — x^5 — x^3 + x^8 — 1 + 2x^4 — x^8 = 0 \)
\( -x^5 — x^3 + 2x^4 = 0 \)
\( -x^3(x^2 + 1 — 2x) = 0 \)
\( -x^3(x — 1)^2 = 0 \)
\( -x^3 = 0 \) или \( x — 1 = 0 \)
\( x = 0 \)    \( x = 1 \to \) не подходит.
Ответ: \( x = 0 \).

2) \( (1 + x + x^2 + x^3)(1 + x + x^2 + \dots + x^7) = \)
\( = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2 \).
Умножим обе части уравнения на \( (1 — x)^2 \), где
\( (1 — x)^2 \ne 0 \Longrightarrow 1 — x \ne 0 \Longrightarrow x \ne 1 \):
\( (1 — x)(1 + x + x^2 + x^3)(1 — x)(1 + x + x^2 + \dots + x^7) = \)
\( = (1 — x)^2(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2 \)
\( (1 — x^4)(1 — x^8) = (1 — x^6)^2 \)
\( 1 — x^8 — x^4 + x^{12} = 1 — 2x^6 + x^{12} \)
\( 1 — x^8 — x^4 + x^{12} — 1 + 2x^6 — x^{12} = 0 \)
\( -x^8 — x^4 + 2x^6 = 0 \)
\( -x^4(x^4 — 2x^2 + 1) = 0 \)
\( -x^4(x^2 — 1)^2 = 0 \)
\( -x^4 = 0 \) или \( x^2 — 1 = 0 \)
\( x = 0 \)    \( (x — 1)(x + 1) = 0 \)
\( x \ne 1 \) или \( x = -1 \).
Ответ: \( x = -1 \); \( x = 0 \).

1) Решим уравнение \( (1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = (1 + x + x^2 + x^3)^2 \).
Умножим обе части уравнения на \( (1 — x)^2 \), где
\( (1 — x)^2 \ne 0 \Longrightarrow 1 — x \ne 0 \Longrightarrow x \ne 1 \):

\( (1 — x)(1 + x + x^2)(1 — x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = \)

\( = (1 — x)^2(1 + x + x^2 + x^3)^2 \)

Теперь раскрываем обе части уравнения:

\( (1 — x)(1 + x + x^2) = 1 — x + x + x^2 — x^2 — x^3 = 1 — x^3 \),

\( (1 — x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = 1 — x + x + x^2 — x^3 + x^4 — x^5 = 1 — x^5 \),

Таким образом, получаем:

\( (1 — x^3)(1 — x^5) = (1 — x^4)^2 \).

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:

\( 1 — x^5 — x^3 + x^8 = 1 — 2x^4 + x^8 \).

Преобразуем уравнение:

\( 1 — x^5 — x^3 + x^8 — 1 + 2x^4 — x^8 = 0 \),

что даёт:

\( -x^5 — x^3 + 2x^4 = 0 \).

Выносим общий множитель \( -x^3 \):

\( -x^3(x^2 + 1 — 2x) = 0 \).

Таким образом, получаем два возможных решения:

\( -x^3 = 0 \) или \( x — 1 = 0 \).

Если \( -x^3 = 0 \), то \( x = 0 \),

если \( x — 1 = 0 \), то \( x = 1 \), но \( x = 1 \) не подходит, так как мы исключаем \( x = 1 \).

Ответ: \( x = 0 \).

2) Решим уравнение \( (1 + x + x^2 + x^3)(1 + x + x^2 + \dots + x^7) = \)
\( = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2 \).
Умножим обе части уравнения на \( (1 — x)^2 \), где
\( (1 — x)^2 \ne 0 \Longrightarrow 1 — x \ne 0 \Longrightarrow x \ne 1 \):

\( (1 — x)(1 + x + x^2 + x^3)(1 — x)(1 + x + x^2 + \dots + x^7) = \)

\( = (1 — x)^2(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)^2 \)

Раскроем скобки в обеих частях:

\( (1 — x^4)(1 — x^8) = (1 — x^6)^2 \),

что даёт:

\( 1 — x^8 — x^4 + x^{12} = 1 — 2x^6 + x^{12} \).

Преобразуем уравнение:

\( 1 — x^8 — x^4 + x^{12} — 1 + 2x^6 — x^{12} = 0 \),

что даёт:

\( -x^8 — x^4 + 2x^6 = 0 \).

Выносим общий множитель \( -x^4 \):

\( -x^4(x^4 — 2x^2 + 1) = 0 \).

Таким образом, получаем два возможных решения:

\( -x^4 = 0 \) или \( x^2 — 1 = 0 \).

Если \( -x^4 = 0 \), то \( x = 0 \),

если \( x^2 — 1 = 0 \), то \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

Ответ: \( x = -1 \); \( x = 0 \).