ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:

1) \( 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n \) делится нацело на 19;

2) \( 7^{n+2} + 8^{2n+1} \) делится нацело на 57;

3) \( 13^{n+2} + 14^{2n+1} \) делится нацело на 183;

4) \( 3^{2n+2} + 2^{6n+1} \) делится нацело на 11.

1) \( 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n = 7 \cdot 25^n + 12 \cdot 6^n = 7 \cdot 25^n — 7 \cdot 6^n + 19 \cdot 6^n = \)
\( = 7(25^n — 6^n) + 19 \cdot 6^n = 7(25 — 6)(25^{n-1} + 25^{n-2} \cdot 6 + \dots + 6^{n-1}) + \)
\( + 19 \cdot 6^n = 7 \cdot 19 \cdot (25^{n-1} + 25^{n-2} \cdot 6 + \dots + 6^{n-1}) + 19 \cdot 6^n = \)
\( = 19 \cdot (7(25^{n-1} + 25^{n-2} \cdot 6 + \dots + 6^{n-1}) + 6^n) \to \) делится на 19.

2) \( 7^{n+2} + 8^{2n+1} = 7^n \cdot 49 + 64^n \cdot 8 = 57 \cdot 7^n + 8 \cdot 64^n — 8 \cdot 7^n = \)
\( = 57 \cdot 7^n + 8(64^n — 7^n) = 57 \cdot 7^n + 8(64 — 7) \cdot \)
\( \cdot (64^{n-1} + 64^{n-2} \cdot 7 + \dots + 7^{n-1}) = 57 \cdot 7^n + 8 \cdot 57 \cdot \)
\( \cdot (64^{n-1} + 64^{n-2} \cdot 7 + \dots + 7^{n-1}) = \)
\( = 57 \cdot \left(7^n + 8(64^{n-1} + 64^{n-2} \cdot 7 + \dots + 7^{n-1})\right) \to \) делится на 57.

3) \( 13^{n+2} + 14^{2n+1} = 13^n \cdot 169 + 196^n \cdot 14 = 183 \cdot 13^n + 14 \cdot 196^n — \)
\( -14 \cdot 13^n = 183 \cdot 13^n + 14(196^n — 13^n) = 183 \cdot 13^n + 14(196 — 13) \cdot \)
\( \cdot (196^{n-1} + 196^{n-2} \cdot 13 + \dots + 13^{n-1}) = 183 \cdot 13^n + 14 \cdot 183 \cdot \)
\( \cdot (196^{n-1} + 196^{n-2} \cdot 13 + \dots + 13^{n-1}) = \)
\( = 183 \cdot \left(13^n + 14(196^{n-1} + 196^{n-2} \cdot 13 + \dots + 13^{n-1})\right) \to \) делится на 183.

4) \( 3^{2n+2} + 2^{6n+1} = 9^n \cdot 9 + 64^n \cdot 2 = 11 \cdot 9^n + 2 \cdot 64^n — 2 \cdot 9^n = \)
\( = 11 \cdot 9^n + 2(64^n — 9^n) = 11 \cdot 9^n + 2(64 — 9) \cdot \)
\( \cdot (64^{n-1} + 64^{n-2} \cdot 9 + \dots + 9^{n-1}) = 11 \cdot 9^n + 2 \cdot 55 \cdot \)
\( \cdot (64^{n-1} + 64^{n-2} \cdot 9 + \dots + 9^{n-1}) = \)
\( = 11 \cdot \left(9^n + 10(64^{n-1} + 64^{n-2} \cdot 9 + \dots + 9^{n-1})\right) \to \) делится на 11.

1) Доказательство того, что \( 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n \) делится на 19 для любого натурального \( n \):

Начнем с выражения \( 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n \). Мы хотим доказать, что оно делится на 19. Рассмотрим разложение выражения:

\( 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n = 7 \cdot 25^n + 12 \cdot 6^n = 7 \cdot 25^n — 7 \cdot 6^n + 19 \cdot 6^n = \)

\( = 7(25^n — 6^n) + 19 \cdot 6^n = 7(25 — 6)(25^{n-1} + 25^{n-2} \cdot 6 + \dots + 6^{n-1}) +\)

\(+ 19 \cdot 6^n \).

Мы видим, что выражение делится на 19, так как один из множителей равен 19.

Таким образом, \( 7 \cdot 5^{2n} + 12 \cdot 6^n \) делится на 19 для любого натурального \( n \).

2) Доказательство того, что \( 7^{n+2} + 8^{2n+1} \) делится на 57 для любого натурального \( n \):

Рассмотрим выражение \( 7^{n+2} + 8^{2n+1} \). Мы хотим доказать, что оно делится на 57. Разложим его:

\( 7^{n+2} + 8^{2n+1} = 7^n \cdot 49 + 64^n \cdot 8 = 57 \cdot 7^n + 8 \cdot 64^n — 8 \cdot 7^n = \)

\( = 57 \cdot 7^n + 8(64^n — 7^n) = 57 \cdot 7^n + 8(64 — 7) \cdot (64^{n-1} +\)

\(+ 64^{n-2} \cdot 7 + \dots + 7^{n-1}) \).

Теперь видим, что выражение делится на 57, так как один из множителей равен 57.

Таким образом, \( 7^{n+2} + 8^{2n+1} \) делится на 57 для любого натурального \( n \).

3) Доказательство того, что \( 13^{n+2} + 14^{2n+1} \) делится на 183 для любого натурального \( n \):

Рассмотрим выражение \( 13^{n+2} + 14^{2n+1} \). Мы хотим доказать, что оно делится на 183. Разложим его:

\( 13^{n+2} + 14^{2n+1} = 13^n \cdot 169 + 196^n \cdot 14 = 183 \cdot 13^n + 14 \cdot 196^n — \)

\( -14 \cdot 13^n = 183 \cdot 13^n + 14(196^n — 13^n) = 183 \cdot 13^n +\)

\( + 14(196 — 13) \cdot (196^{n-1} + 196^{n-2} \cdot 13 + \dots + 13^{n-1}) \).

Мы видим, что выражение делится на 183, так как один из множителей равен 183.

Таким образом, \( 13^{n+2} + 14^{2n+1} \) делится на 183 для любого натурального \( n \).

4) Доказательство того, что \( 3^{2n+2} + 2^{6n+1} \) делится на 11 для любого натурального \( n \):

Рассмотрим выражение \( 3^{2n+2} + 2^{6n+1} \). Мы хотим доказать, что оно делится на 11. Разложим его:

\( 3^{2n+2} + 2^{6n+1} = 9^n \cdot 9 + 64^n \cdot 2 = 11 \cdot 9^n + 2 \cdot 64^n — 2 \cdot 9^n = \)

\( = 11 \cdot 9^n + 2(64^n — 9^n) = 11 \cdot 9^n + 2(64 — 9) \cdot (64^{n-1} +\)

\( + 64^{n-2} \cdot 9 + \dots + 9^{n-1}) \).

Теперь видим, что выражение делится на 11, так как один из множителей равен 11.

Таким образом, \( 3^{2n+2} + 2^{6n+1} \) делится на 11 для любого натурального \( n \).