ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \( a^5 + b^5  \)

2) \( a^{11} — 1  \)

3) \( y^7 — 128 \)

4) \( m^7n^{14}k^{21} + 1 \)

1) \( a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 — a^3b + a^2b^2 — ab^3 + b^4) \);

2) \( a^{11} — 1 = (a — 1)(a^{10} + a^9 + a^8 + a^7 + a^6 + a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1) \);

3) \( y^7 — 128 = y^7 — 2^7 = (y — 2) \cdot \)

\( \cdot (y^6 + y^5 \cdot 2 + y^4 \cdot 2^2 + y^3 \cdot 2^3 + y^2 \cdot 2^4 + y \cdot 2^5 + 2^6) = \)

\( = (y — 2)(y^6 + 2y^5 + 4y^4 + 8y^3 + 16y^2 + 32y + 64) \);

4) \( m^7n^{14}k^{21} + 1 = (mn^2k^3)^7 + 1 = (mn^2k^3 + 1) \cdot \)

\( \cdot (m^6n^{12}k^{18} — m^5n^{10}k^{15} + m^4n^8k^{12} — m^3n^6k^9 + m^2n^4k^6 — mn^2k^3 + 1) \).

1) \( a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 — a^3b + a^2b^2 — ab^3 + b^4) \);

Для разложения выражения \( a^5 + b^5 \), используем стандартную формулу для суммы степеней:

\( a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} — a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 — \dots + b^{n-1}) \),

где \( n \) — это степень, к которой возводятся переменные. В данном случае, \( n = 5 \), и формула для разложения будет выглядеть так:

\( a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 — a^3b + a^2b^2 — ab^3 + b^4) \).

Здесь \( a^4 — a^3b + a^2b^2 — ab^3 + b^4 \) — это многочлен, который получается путем разложения суммы степеней \( a \) и \( b \). Каждый следующий член является произведением переменных \( a \) и \( b \), при этом степень \( a \) уменьшается, а степень \( b \) увеличивается. Таким образом, выражение разлагается на два множителя: \( a + b \) и многочлен второй скобки.

2) \( a^{11} — 1 = (a — 1)(a^{10} + a^9 + a^8 + a^7 + a^6 + a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1) \);

Для разложения выражения \( a^{11} — 1 \) на множители используем формулу для разности степеней:

\( a^n — 1 = (a — 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + a^{n-3} + \dots + 1) \),

где \( n = 11 \). В данном случае, разложение примет вид:

\( a^{11} — 1 = (a — 1)(a^{10} + a^9 + a^8 + a^7 + a^6 + a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1) \).

Второй множитель — это сумма степеней переменной \( a \), начиная с \( a^{10} \) и заканчивая \( a^0 \). Это стандартная структура для разложения выражений вида \( a^n — 1 \), где \( n \) — степень, к которой возводится переменная \( a \).

3) \( y^7 — 128 = y^7 — 2^7 = (y — 2) \cdot \)

\( \cdot (y^6 + y^5 \cdot 2 + y^4 \cdot 2^2 + y^3 \cdot 2^3 + y^2 \cdot 2^4 + y \cdot 2^5 + 2^6) = \)

\( = (y — 2)(y^6 + 2y^5 + 4y^4 + 8y^3 + 16y^2 + 32y + 64) \);

Здесь разложение происходит для выражения \( y^7 — 128 \), которое можно представить как \( y^7 — 2^7 \). Используем формулу разности степеней для выражений вида \( a^n — b^n \), где \( a = y \) и \( b = 2 \), и получаем:

\( y^7 — 2^7 = (y — 2)(y^6 + y^5 \cdot 2 + y^4 \cdot 2^2 + y^3 \cdot 2^3 + y^2 \cdot 2^4 + y \cdot 2^5 + 2^6) \).

Во второй скобке мы видим сумму, в которой каждый член содержит переменную \( y \), умноженную на соответствующую степень числа 2. В результате получаем:

\( = (y — 2)(y^6 + 2y^5 + 4y^4 + 8y^3 + 16y^2 + 32y + 64) \).

4) \( m^7n^{14}k^{21} + 1 = (mn^2k^3)^7 + 1 = (mn^2k^3 + 1) \cdot \)

\( \cdot (m^6n^{12}k^{18} — m^5n^{10}k^{15} + m^4n^8k^{12} — m^3n^6k^9 + m^2n^4k^6 — mn^2k^3 + 1) \).

Для разложения выражения \( m^7n^{14}k^{21} + 1 \) используем формулу для суммы степеней, представленных в виде \( x^n + 1 \), где \( x = mn^2k^3 \), и получаем:

\( m^7n^{14}k^{21} + 1 = (mn^2k^3)^7 + 1 = (mn^2k^3 + 1) \cdot (m^6n^{12}k^{18} -\)

\(- m^5n^{10}k^{15} + m^4n^8k^{12} — m^3n^6k^9 + m^2n^4k^6 — mn^2k^3 + 1) \).

Здесь выражение \( m^7n^{14}k^{21} + 1 \) разлагается по аналогии с разложением суммы степеней, в котором первая скобка — это \( mn^2k^3 + 1 \), а вторая скобка представляет собой многочлен, где степени \( m \), \( n \), и \( k \) изменяются от высшей степени до низшей. Это стандартное разложение для выражений вида \( x^n + 1 \), где \( n \) — это степень, кратная 7.