ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения \( 5^{40} + 4 \) — составное число.

\( 5^{40} + 4 = (5^{20})^2 + 2 \cdot 5^{20} \cdot 2 + 2^2 — 4 \cdot 5^{20} = \)

\( = (5^{20} + 2)^2 — 4 \cdot 5^{20} = \)

\( = (5^{20} + 2)^2 — (2 \cdot 5^{10})^2 = (5^{20} + 2 — 2 \cdot 5^{10})(5^{20} + 2 + 2 \cdot 5^{10}) \).

Так как данное выражение можно представить в виде произведения двух множителей, то оно является составным числом.

Следовательно, значение данного выражения является составным числом.

Что и требовалось доказать.

Задано выражение \( 5^{40} + 4 \). Нужно доказать, что оно является составным числом.

Для начала попробуем представить это выражение в более удобной форме для анализа:

\( 5^{40} + 4 = (5^{20})^2 + 2 \cdot 5^{20} \cdot 2 + 2^2 — 4 \cdot 5^{20} \),

где \( (5^{20})^2 \) — это квадрат числа \( 5^{20} \), а остальные слагаемые — это разложение на суммы и произведения. Попробуем упростить это выражение.

1. Перепишем выражение:

\( (5^{20})^2 + 2 \cdot 5^{20} \cdot 2 + 2^2 — 4 \cdot 5^{20} = (5^{20} + 2)^2 — 4 \cdot 5^{20} \).

2. Теперь преобразуем это выражение так:

\( = (5^{20} + 2)^2 — (2 \cdot 5^{10})^2 \),

что мы можем расписать как разность квадратов:

\( = (5^{20} + 2 — 2 \cdot 5^{10})(5^{20} + 2 + 2 \cdot 5^{10}) \).

3. Мы видим, что выражение \( 5^{40} + 4 \) разложилось на два множителя:

\( (5^{20} + 2 — 2 \cdot 5^{10}) \) и \( (5^{20} + 2 + 2 \cdot 5^{10}) \).

Поскольку оба множителя больше 1, то это произведение не является простым числом, а является составным числом, так как оно может быть представлено в виде произведения двух чисел, отличных от 1.

Таким образом, выражение \( 5^{40} + 4 \) является составным числом.

Что и требовалось доказать.