ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:

1) \( 7^n — 1 \) кратно 6;

2) \( 19^{2n+1} + 1 \) кратно 20;

3) \( 16^n — 11^n \) кратно 5.

1) \( 7^n — 1 = (7 — 1)(7^{n-1} + 7^{n-2} + 7^{n-3} + \dots + 7 + 1) = \)

\( = 6 \cdot (7^{n-1} + 7^{n-2} + 7^{n-3} + \dots + 8) \to \) кратно 6.

2) \( 19^{2n+1} + 1 = (19 + 1)(19^{2n+1-1} — 19^{2n+1-2} + 19^{2n+1-3} — \dots —  \)

\( — 19 + 1) = 20 \cdot (19^{2n} — 19^{2n-1} + 19^{2n-2} — \dots — 18) \to \) кратно 20.

3) \( 16^n — 11^n = (16 — 11)(16^{n-1} + 16^{n-2} \cdot 11 + 16^{n-3} \cdot 11^2 + \dots + \)

\( + 11^{n-1}) = 5 \cdot (16^{n-1} + 11 \cdot 16^{n-2} + 121 \cdot 16^{n-3} + \dots + 11^{n-1}) \to \) кратно 5.

1) Доказательство того, что \( 7^n — 1 \) кратно 6 для любого натурального \( n \):

Рассмотрим выражение \( 7^n — 1 \). Нам нужно доказать, что оно всегда делится на 6 для любого \( n \in \mathbb{N} \). Начнем с разложения:

\( 7^n — 1 = (7 — 1)(7^{n-1} + 7^{n-2} + 7^{n-3} + \dots + 7 + 1) \),

что сводится к выражению:

\( 7^n — 1 = 6 \cdot (7^{n-1} + 7^{n-2} + 7^{n-3} + \dots + 7 + 1) \).

Поскольку 6 — это множитель, то выражение всегда делится на 6. Таким образом, мы доказали, что \( 7^n — 1 \) кратно 6 для любого \( n \).

2) Доказательство того, что \( 19^{2n+1} + 1 \) кратно 20 для любого натурального \( n \):

Теперь рассмотрим выражение \( 19^{2n+1} + 1 \). Мы хотим показать, что оно всегда делится на 20. Начнем с разложения:

\( 19^{2n+1} + 1 = (19 + 1)(19^{2n+1-1} — 19^{2n+1-2} + 19^{2n+1-3} — \dots — 19 + 1) \),

что дает:

\( 19^{2n+1} + 1 = 20 \cdot (19^{2n} — 19^{2n-1} + 19^{2n-2} — \dots — 18) \).

Здесь множитель 20 явно показывает, что выражение делится на 20. Следовательно, \( 19^{2n+1} + 1 \) всегда кратно 20 для любого натурального \( n \).

3) Доказательство того, что \( 16^n — 11^n \) кратно 5 для любого натурального \( n \):

Теперь рассмотрим выражение \( 16^n — 11^n \). Нам нужно доказать, что оно всегда делится на 5 для любого \( n \). Разложим выражение:

\( 16^n — 11^n = (16 — 11)(16^{n-1} + 16^{n-2} \cdot 11 + 16^{n-3} \cdot 11^2 + \dots + 11^{n-1}) \),

что даёт:

\( 16^n — 11^n = 5 \cdot (16^{n-1} + 11 \cdot 16^{n-2} + 121 \cdot 16^{n-3} + \dots + 11^{n-1}) \).

Поскольку 5 — это множитель, то выражение всегда делится на 5. Таким образом, \( 16^n — 11^n \) всегда кратно 5 для любого \( n \).

Мы доказали, что:

• \( 7^n — 1 \) кратно 6;
• \( 19^{2n+1} + 1 \) кратно 20;
• \( 16^n — 11^n \) кратно 5.