ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:

1) \( 17^n — 1 \) кратно 16;

2) \( 23^{2n+1} + 1 \) кратно 24;

3) \( 13^{2n+1} + 1 \) кратно 14.

1) \( 17^n — 1 = (17 — 1)(17^{n-1} + 17^{n-2} + 17^{n-3} + \dots + 17 + 1) = \)

\( = 16 \cdot (17^{n-1} + 17^{n-2} + 17^{n-3} + \dots + 18) \to \) кратно 16.

2) \( 23^{2n+1} + 1 = (23 + 1)(23^{2n+1-1} — 23^{2n+1-2} + 23^{2n+1-3} — \dots — \)

\( — 23 + 1) = 24 \cdot (23^{2n} — 23^{2n-1} + 23^{2n-2} — \dots — 22) \to \) кратно 24.

3) \( 13^{2n+1} + 1 = (13 + 1)(13^{2n+1-1} — 13^{2n+1-2} + 13^{2n+1-3} — \dots — \)

\( — 13 + 1) = 14 \cdot (13^{2n} — 13^{2n-1} + 13^{2n-2} — \dots — 12) \to \) кратно 14.

1) Доказательство того, что \( 17^n — 1 \) кратно 16 для любого натурального \( n \):

Рассмотрим выражение \( 17^n — 1 \). Нам нужно доказать, что оно всегда делится на 16 для любого \( n \in \mathbb{N} \). Начнем с разложения:

\( 17^n — 1 = (17 — 1)(17^{n-1} + 17^{n-2} + 17^{n-3} + \dots + 17 + 1) \),

что сводится к выражению:

\( 17^n — 1 = 16 \cdot (17^{n-1} + 17^{n-2} + 17^{n-3} + \dots + 17 + 1) \).

Поскольку 16 — это множитель, то выражение всегда делится на 16. Таким образом, мы доказали, что \( 17^n — 1 \) кратно 16 для любого \( n \).

2) Доказательство того, что \( 23^{2n+1} + 1 \) кратно 24 для любого натурального \( n \):

Теперь рассмотрим выражение \( 23^{2n+1} + 1 \). Мы хотим показать, что оно всегда делится на 24. Начнем с разложения:

\( 23^{2n+1} + 1 = (23 + 1)(23^{2n+1-1} — 23^{2n+1-2} + 23^{2n+1-3} — \dots — 23 + 1) = \)

\( = 24 \cdot (23^{2n} — 23^{2n-1} + 23^{2n-2} — \dots — 22) \).

Здесь множитель 24 явно показывает, что выражение делится на 24. Следовательно, \( 23^{2n+1} + 1 \) всегда кратно 24 для любого натурального \( n \).

3) Доказательство того, что \( 13^{2n+1} + 1 \) кратно 14 для любого натурального \( n \):

Теперь рассмотрим выражение \( 13^{2n+1} + 1 \). Нам нужно доказать, что оно всегда делится на 14 для любого \( n \). Разложим выражение:

\( 13^{2n+1} + 1 = (13 + 1)(13^{2n+1-1} — 13^{2n+1-2} + 13^{2n+1-3} — \dots — 13 + 1) = \)

\( = 14 \cdot (13^{2n} — 13^{2n-1} + 13^{2n-2} — \dots — 12) \).

Поскольку 14 — это множитель, то выражение всегда делится на 14. Таким образом, \( 13^{2n+1} + 1 \) всегда кратно 14 для любого \( n \).

Мы доказали, что:

• \( 17^n — 1 \) кратно 16;
• \( 23^{2n+1} + 1 \) кратно 24;
• \( 13^{2n+1} + 1 \) кратно 14.