Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
1) \( 15^n + 13 \) кратно 7;
2) \( 9^n + 5^n — 2 \) кратно 4;
3) \( 5 \cdot 25^n + 13 \cdot 13^{2n} \) кратно 9;
4) \( 21^n + 4^{n+2} \) кратно 17.
1) \( 15^n + 13 = 15^n — 1 + 1 + 13 = (15^n — 1) + 14 = (15 — 1) \cdot \)
\( \cdot (15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + 15 + 1) + 14 = \)
\( = 14 \cdot (15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + 16) + 14 = \)
\( = 7 \cdot (2(15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + 16) + 2) \to \) кратно 7;
2) \( 9^n + 5^n — 2 = (9^n — 1) + (5^n — 1) = (9 — 1) \cdot \)
\( \cdot (9^{n-1} + 9^{n-2} + \dots + 9 + 1) + (5 — 1)(5^{n-1} + 5^{n-2} + \dots + 5 + 1) = \)
\( = 8 \cdot (9^{n-1} + 9^{n-2} + \dots + 10) + 4 \cdot (5^{n-1} + 5^{n-2} + \dots + 6) = \)
\( = 4 \cdot (2(9^{n-1} + 9^{n-2} + \dots + 10) + (5^{n-1} + 5^{n-2} + \dots + 6)) \to \) кратно 4;
3) \( 5 \cdot 25^n + 13 \cdot 13^{2n} = 5 \cdot (5^2)^n + 13 \cdot 13^{2n} = 5^{2n+1} + 13^{2n+1} = \)
\( = (5 + 13)(5^{2n} — 5^{2n-1} \cdot 13 + 5^{2n-2} \cdot 13^2 — \dots — 5 \cdot 13^{2n-1} + 13^{2n}) = \)
\( = 18 \cdot (5^{2n} — 5^{2n-1} \cdot 13 + 5^{2n-2} \cdot 13^2 — \dots — 5 \cdot 13^{2n-1} + 13^{2n}) \to \) кратно 9;
4) \( 21^n + 4^{n+2} = 21^n + 4^n \cdot 4^2 = 21^n + 4^n \cdot 16 = 21^n — 4^n + 17 \cdot 4^n = \)
\( = (21 — 4)(21^{n-1} + 21^{n-2} \cdot 4 + \dots + 21 \cdot 4^{n-2} + 4^{n-1}) + 17 \cdot 4^n = \)
\( = 17 \cdot (21^{n-1} + 21^{n-2} \cdot 4 + \dots + 21 \cdot 4^{n-2} + 4^{n-1}) + 17 \cdot 4^n = \)
\( = 17 \cdot (21^{n-1} + 21^{n-2} \cdot 4 + \dots + 21 \cdot 4^{n-2} + 4^{n-1} + 4^n) \to \) кратно 17.
1) Доказательство того, что \( 15^n + 13 \) кратно 7 для любого натурального \( n \):
Рассмотрим выражение \( 15^n + 13 \). Нам нужно доказать, что оно всегда делится на 7 для любого \( n \in \mathbb{N} \). Начнем с разложения:
\( 15^n + 13 = 15^n — 1 + 1 + 13 = (15^n — 1) + 14 = (15 — 1) \cdot (15^{n-1} +\)
\(+ 15^{n-2} + \dots + 15 + 1) + 14 = 14 \cdot (15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + \)
\( + 16) + 14 = 7 \cdot (2(15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + 16) + 2) \to \) кратно 7.
Таким образом, \( 15^n + 13 \) всегда кратно 7 для любого \( n \).
2) Доказательство того, что \( 9^n + 5^n — 2 \) кратно 4 для любого натурального \( n \):
Теперь рассмотрим выражение \( 9^n + 5^n — 2 \). Нам нужно показать, что оно всегда делится на 4. Разложим выражение:
\( 9^n + 5^n — 2 = (9^n — 1) + (5^n — 1) = (9 — 1) \cdot (9^{n-1} + 9^{n-2} + \dots +\)
\( + 9 + 1) + (5 — 1)(5^{n-1} + 5^{n-2} + \dots + 5 + 1) = \)
\( = 8 \cdot (9^{n-1} + 9^{n-2} + \dots + 10) + 4 \cdot (5^{n-1} + 5^{n-2} + \dots + 6) = \)
\( = 4 \cdot (2(9^{n-1} + 9^{n-2} + \dots + 10) + (5^{n-1} + 5^{n-2} + \dots + 6)) \to \) кратно 4.
Таким образом, \( 9^n + 5^n — 2 \) всегда кратно 4 для любого \( n \).
3) Доказательство того, что \( 5 \cdot 25^n + 13 \cdot 13^{2n} \) кратно 9 для любого натурального \( n \):
Рассмотрим выражение \( 5 \cdot 25^n + 13 \cdot 13^{2n} \). Мы хотим показать, что оно всегда делится на 9. Разложим выражение:
\( 5 \cdot 25^n + 13 \cdot 13^{2n} = 5 \cdot (5^2)^n + 13 \cdot 13^{2n} = 5^{2n+1} + 13^{2n+1} = \)
\( = (5 + 13)(5^{2n} — 5^{2n-1} \cdot 13 + 5^{2n-2} \cdot 13^2 — \dots — 5 \cdot 13^{2n-1} + 13^{2n}) = \)
\( = 18 \cdot (5^{2n} — 5^{2n-1} \cdot 13 + 5^{2n-2} \cdot 13^2 — \dots — 5 \cdot 13^{2n-1} + 13^{2n}) \to \) кратно 9.
Таким образом, \( 5 \cdot 25^n + 13 \cdot 13^{2n} \) всегда кратно 9 для любого \( n \).
4) Доказательство того, что \( 21^n + 4^{n+2} \) кратно 17 для любого натурального \( n \):
Теперь рассмотрим выражение \( 21^n + 4^{n+2} \). Нам нужно доказать, что оно всегда делится на 17. Разложим выражение:
\( 21^n + 4^{n+2} = 21^n + 4^n \cdot 4^2 = 21^n + 4^n \cdot 16 = 21^n — 4^n + 17 \cdot 4^n = \)
\( = (21 — 4)(21^{n-1} + 21^{n-2} \cdot 4 + \dots + 21 \cdot 4^{n-2} + 4^{n-1}) + 17 \cdot 4^n = \)
\( = 17 \cdot (21^{n-1} + 21^{n-2} \cdot 4 + \dots + 21 \cdot 4^{n-2} + 4^{n-1}) + 17 \cdot 4^n = \)
\( = 17 \cdot (21^{n-1} + 21^{n-2} \cdot 4 + \dots + 21 \cdot 4^{n-2} + 4^{n-1} + 4^n) \to \) кратно 17.
Таким образом, \( 21^n + 4^{n+2} \) всегда кратно 17 для любого \( n \).
Мы доказали, что:
- \( 15^n + 13 \) кратно 7;
- \( 9^n + 5^n — 2 \) кратно 4;
- \( 5 \cdot 25^n + 13 \cdot 13^{2n} \) кратно 9;
- \( 21^n + 4^{n+2} \) кратно 17.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!