ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:

1) \( 27^n + 12 \) кратно 13;

2) \( 17^n + 15 \) кратно 16;

3) \( 8^n + 15^n — 2 \) кратно 7;

4) \( 3 \cdot 9^n + 7 \cdot 7^{2n} \) кратно 10.

1) \( 27^n + 12 = 27^n — 1 + 12 + 1 = (27^n — 1) + 13 = (27 — 1) \cdot \)

\( \cdot (27^{n-1} + 27^{n-2} + \dots + 27 + 1) + 13 = 26(27^{n-1} + 27^{n-2} + \dots + 28) + 13 = \)

\( = 13 \cdot (2(27^{n-1} + 27^{n-2} + \dots + 28) + 1) \to \) кратно 13;

2) \( 17^n + 15 = 17^n — 1 + 1 + 15 = (17^n — 1) + 16 = (17 — 1) \cdot \)

\( \cdot (17^{n-1} + 17^{n-2} + \dots + 17 + 1) + 16 = 16(17^{n-1} + 17^{n-2} + \dots + 18) + 16 = \)

\( = 16 \cdot (17^{n-1} + 17^{n-2} + \dots + 1 + 19) \to \) кратно 16;

3) \( 8^n + 15^n — 2 = (8^n — 1) + (15^n — 1) = (8 — 1) \cdot \)

\( \cdot (8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 8 + 1) + (15 — 1)(15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + 15 + 1) = \)

\( = 7(8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 9) + 14(15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + 16) = \)

\( = 7\left(8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 9 + 2(15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + 16)\right) \to \) кратно 7;

4) \( 3 \cdot 9^n + 7 \cdot 7^{2n} = 3 \cdot (3^2)^n + 7 \cdot 7^{2n} = 3^{2n+1} + 7^{2n+1} = \)

\( = (3 + 7)(3^{2n} — 3^{2n-1} \cdot 7 + 3^{2n-2} \cdot 7^2 — \dots — 3 \cdot 7^{2n-1} + 7^{2n}) = \)

\( = 10 \cdot (3^{2n} — 3^{2n-1} \cdot 7 + 3^{2n-2} \cdot 7^2 — \dots — 3 \cdot 7^{2n-1} + 7^{2n}) \to \) кратно 10.

1) Доказательство того, что \( 27^n + 12 \) кратно 13 для любого натурального \( n \):

Рассмотрим выражение \( 27^n + 12 \). Нам нужно доказать, что оно всегда делится на 13 для любого \( n \in \mathbb{N} \). Начнем с разложения:

\( 27^n + 12 = 27^n — 1 + 12 + 1 = (27^n — 1) + 13 = (27 — 1) \cdot (27^{n-1} +\)

\(+ 27^{n-2} + \dots + 27 + 1) + 13 = 26 \cdot (27^{n-1} + 27^{n-2} + \dots + \)

\( + 28) + 13 = 13 \cdot (2(27^{n-1} + 27^{n-2} + \dots + 28) + 1) \to \) кратно 13.

Таким образом, \( 27^n + 12 \) всегда кратно 13 для любого \( n \).

2) Доказательство того, что \( 17^n + 15 \) кратно 16 для любого натурального \( n \):

Теперь рассмотрим выражение \( 17^n + 15 \). Нам нужно показать, что оно всегда делится на 16. Разложим выражение:

\( 17^n + 15 = 17^n — 1 + 1 + 15 = (17^n — 1) + 16 = (17 — 1) \cdot (17^{n-1} +\)

\(+ 17^{n-2} + \dots + 17 + 1) + 16 = 16 \cdot (17^{n-1} + 17^{n-2} + \dots + \)

\( + 18) + 16 = 16 \cdot (17^{n-1} + 17^{n-2} + \dots + 1 + 19) \to \) кратно 16.

Таким образом, \( 17^n + 15 \) всегда кратно 16 для любого \( n \).

3) Доказательство того, что \( 8^n + 15^n — 2 \) кратно 7 для любого натурального \( n \):

Теперь рассмотрим выражение \( 8^n + 15^n — 2 \). Нам нужно доказать, что оно всегда делится на 7. Разложим выражение:

\( 8^n + 15^n — 2 = (8^n — 1) + (15^n — 1) = (8 — 1) \cdot (8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots +\)

\(+ 8 + 1) + (15 — 1)(15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + 15 + 1) = \)

\( = 7(8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 9) + 14(15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + 16) = \)

\( = 7\left(8^{n-1} + 8^{n-2} + \dots + 9 + 2(15^{n-1} + 15^{n-2} + \dots + 16)\right) \to \) кратно 7.

Таким образом, \( 8^n + 15^n — 2 \) всегда кратно 7 для любого \( n \).

4) Доказательство того, что \( 3 \cdot 9^n + 7 \cdot 7^{2n} \) кратно 10 для любого натурального \( n \):

Теперь рассмотрим выражение \( 3 \cdot 9^n + 7 \cdot 7^{2n} \). Нам нужно доказать, что оно всегда делится на 10. Разложим выражение:

\( 3 \cdot 9^n + 7 \cdot 7^{2n} = 3 \cdot (3^2)^n + 7 \cdot 7^{2n} = 3^{2n+1} + 7^{2n+1} = \)

\( = (3 + 7)(3^{2n} — 3^{2n-1} \cdot 7 + 3^{2n-2} \cdot 7^2 — \dots — 3 \cdot 7^{2n-1} + 7^{2n}) = \)

\( = 10 \cdot (3^{2n} — 3^{2n-1} \cdot 7 + 3^{2n-2} \cdot 7^2 — \dots — 3 \cdot 7^{2n-1} + 7^{2n}) \to \) кратно 10.

Таким образом, \( 3 \cdot 9^n + 7 \cdot 7^{2n} \) всегда кратно 10 для любого \( n \).

Мы доказали, что:

• \( 27^n + 12 \) кратно 13;
• \( 17^n + 15 \) кратно 16;
• \( 8^n + 15^n — 2 \) кратно 7;
• \( 3 \cdot 9^n + 7 \cdot 7^{2n} \) кратно 10.