Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
1) \( 2^{2n} \cdot 5^n — 3^{2n} \) кратно 11;
2) \( 7^n \cdot 3^{3n} — 2^{2n} \) кратно 37.
1) \( 2^{2n} \cdot 5^n — 3^{2n} = (2^2)^n \cdot 5^n — (3^2)^n = 4^n \cdot 5^n — 9^n = 20^n — 9^n = \)
\( = (20 — 9)(20^{n-1} + 20^{n-2} \cdot 9 + 20^{n-3} \cdot 9^2 + \dots + 20 \cdot 9^{n-2} + 9^{n-1}) = \)
\( = 11 \cdot (20^{n-1} + 20^{n-2} \cdot 9 + 20^{n-3} \cdot 9^2 + \dots + 20 \cdot 9^{n-2} + 9^{n-1}) \to \) кратно 11;
2) \( 7^n \cdot 3^{3n} — 2^{2n} = 7^n \cdot (3^3)^n — (2^2)^n = 7^n \cdot 27^n — 4^n = 189^n — 4^n = \)
\( = (189 — 4)(189^{n-1} + 189^{n-2} \cdot 4 + 189^{n-3} \cdot 4^2 + \dots + 189 \cdot 4^{n-2} + 4^{n-1}) = \)
\( = 185 \cdot (189^{n-1} + 189^{n-2} \cdot 4 + 189^{n-3} \cdot 4^2 + \dots + 189 \cdot 4^{n-2} + 4^{n-1}) \to \) кратно 37, так как 185 делится нацело на 37.
1) Доказательство того, что \( 2^{2n} \cdot 5^n — 3^{2n} \) кратно 11 для любого натурального \( n \):
Рассмотрим выражение \( 2^{2n} \cdot 5^n — 3^{2n} \). Нам нужно доказать, что оно всегда делится на 11 для любого \( n \in \mathbb{N} \). Начнем с разложения:
\( 2^{2n} \cdot 5^n — 3^{2n} = (2^2)^n \cdot 5^n — (3^2)^n = 4^n \cdot 5^n — 9^n = 20^n — 9^n = \)
\( = (20 — 9)(20^{n-1} + 20^{n-2} \cdot 9 + 20^{n-3} \cdot 9^2 + \dots + 20 \cdot 9^{n-2} + 9^{n-1}) = \)
\( = 11 \cdot (20^{n-1} + 20^{n-2} \cdot 9 + 20^{n-3} \cdot 9^2 + \dots + 20 \cdot 9^{n-2} + 9^{n-1}) \to \) кратно 11.
Таким образом, \( 2^{2n} \cdot 5^n — 3^{2n} \) всегда кратно 11 для любого \( n \).
2) Доказательство того, что \( 7^n \cdot 3^{3n} — 2^{2n} \) кратно 37 для любого натурального \( n \):
Теперь рассмотрим выражение \( 7^n \cdot 3^{3n} — 2^{2n} \). Мы хотим доказать, что оно всегда делится на 37. Разложим выражение:
\( 7^n \cdot 3^{3n} — 2^{2n} = 7^n \cdot (3^3)^n — (2^2)^n = 7^n \cdot 27^n — 4^n = 189^n — 4^n = \)
\( = (189 — 4)(189^{n-1} + 189^{n-2} \cdot 4 + 189^{n-3} \cdot 4^2 + \dots + 189 \cdot 4^{n-2} + 4^{n-1}) = \)
\( = 185 \cdot (189^{n-1} + 189^{n-2} \cdot 4 + 189^{n-3} \cdot 4^2 + \dots + 189 \cdot 4^{n-2} + 4^{n-1}) \to \) кратно 37, так как 185 делится нацело на 37.
Таким образом, \( 7^n \cdot 3^{3n} — 2^{2n} \) всегда кратно 37 для любого \( n \).
Мы доказали, что:
- \( 2^{2n} \cdot 5^n — 3^{2n} \) кратно 11;
- \( 7^n \cdot 3^{3n} — 2^{2n} \) кратно 37.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!