ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что число является составным:

1) \( 2^{1234} + 1 \);

2) \( \underbrace{1000\ldots0}_{16\text{ нулей}}1\).

1) \( 2^{1234} + 1 = (2^2)^{617} + 1 = (2^2 + 1)(4^{616} — 4^{615} + 4^{614} — \dots — 4 + 1) = \)

\( = 5 \cdot (4^{616} — 4^{615} + 4^{614} — \dots — 3) \to \) составное число, так как имеет два множителя.

2) \( \underbrace{1000\ldots0}_{16\text{ нулей}}1 = \underbrace{1000\ldots0}_{17\text{ нулей}} + 1 = 10^{17} + 1 = (10 + 1) \cdot \)

\( \cdot (10^{16} — 10^{15} + 10^{14} — \dots — 10 + 1) = \)

\( = 11 \cdot (10^{16} — 10^{15} + 10^{14} — \dots — 9) \to \) составное число, так как имеет два множителя.

1) Доказательство того, что число \( 2^{1234} + 1 \) является составным:

Рассмотрим число \( 2^{1234} + 1 \). Нам нужно показать, что оно составное, то есть имеет два множителя, отличный от 1 и самого числа. Начнем с разложения:

\( 2^{1234} + 1 = (2^2)^{617} + 1 = (2^2 + 1)(4^{616} — 4^{615} + 4^{614} — \dots — 4 + 1) \).

В данном случае, мы можем записать число в виде произведения двух множителей:

\( 2^{1234} + 1 = 5 \cdot (4^{616} — 4^{615} + 4^{614} — \dots — 3) \).

Поскольку число разлагается на два множителя, следовательно, \( 2^{1234} + 1 \) является составным числом.

2) Доказательство того, что число \( \underbrace{1000\ldots0}_{16\text{ нулей}}1\) является составным:

Теперь рассмотрим число \( 1000\ldots01 \), состоящее из 17 цифр, из которых первые 16 — нули. Это число можно представить как \( 10^{17} + 1 \). Нам нужно показать, что оно составное:

\( 10^{17} + 1 = (10 + 1)(10^{16} — 10^{15} + 10^{14} — \dots — 10 + 1) \).

Записываем число как произведение двух множителей:

\( 10^{17} + 1 = 11 \cdot (10^{16} — 10^{15} + 10^{14} — \dots — 9) \).

Поскольку число разлагается на два множителя, то оно является составным числом.

Таким образом, оба числа — \( 2^{1234} + 1 \) и \( 1000\ldots01 \) — являются составными, так как они имеют два множителя, отличных от 1 и самого числа.