ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 22.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 — x + 1) \)

2) \( (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 — x^5 = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4) \cdot \)
\( \cdot (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) \)

1) \( x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 — x + 1) \).
Умножим обе части равенства на \( (x — 1) \):
\( (x — 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = (x — 1)(x + 1)(x^2 + x + 1) \cdot \)
\( \cdot (x^2 — x + 1) \)
\( x^6 — 1 = (x^2 — 1)(x^4 — x^3 + x^2 + x^3 — x^2 + x^2 — x + 1) \)
\( x^6 — 1 = (x^2 — 1)(x^4 + x^2 + 1) \)
\( x^6 — 1 = x^6 — 1 \to \) что и требовалось доказать.

2) \( (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 — x^5 = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4) \cdot \)
\( \cdot (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) \).
Умножим обе части равенства на \( (1 — x)^2 \):
\( (1 — x)^2(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 — (1 — x)^2x^5 = \)
\( = (1 — x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)(1 — x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) \)
\( (1 — x^6)^2 — (1 — x)^2x^5 = (1 — x^5)(1 — x^7) \)
\( 1 — 2x^6 + x^{12} — (1 — 2x + x^2)x^5 = 1 — x^7 — x^5 + x^{12} \)
\( 1 — 2x^6 + x^{12} — x^5 + 2x^6 — x^7 = 1 — x^7 — x^5 + x^{12} \)
\( 1 — x^5 — x^7 + x^{12} = 1 — x^5 — x^7 + x^{12} \to \) что и требовалось доказать.

1) Доказательство тождества \( x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 — x + 1) \):

Начнем с того, что умножим обе части равенства на \( (x — 1) \):

\( (x — 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = (x — 1)(x + 1)(x^2 + x + 1) \cdot (x^2 — x + 1) \).

Теперь раскрываем левую часть. Для этого применим распределительное свойство умножения:

\( (x — 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^6 — x^5 + x^5 — x^4 + x^4 — x^3 +\)

\(+ x^3 — x^2 + x^2 — x + x — 1 = x^6 — 1 \).

Теперь рассмотрим правую часть. Раскроем скобки в правой части:

\( (x — 1)(x + 1) = x^2 — 1 \),

и затем умножим это на \( (x^2 + x + 1)(x^2 — x + 1) \):

\( (x^2 — 1)(x^2 + x + 1)(x^2 — x + 1) \).

Используем формулу для произведения разности и суммы квадратов:

\( (x^2 — 1)(x^2 + x + 1) = x^4 + x^3 + x^2 — x^2 — x — 1 = x^4 + x^3 — x — 1 \).

Теперь умножим это на \( (x^2 — x + 1) \):

\( (x^4 + x^3 — x — 1)(x^2 — x + 1) \).

Раскроем эту скобку, применяя распределительное свойство умножения:

\( x^4(x^2 — x + 1) = x^6 — x^5 + x^4, \)

\( x^3(x^2 — x + 1) = x^5 — x^4 + x^3, \)

\( -x(x^2 — x + 1) = -x^3 + x^2 — x, \)

\( -1(x^2 — x + 1) = -x^2 + x — 1. \)

Теперь соберем все эти выражения вместе:

\( x^6 — x^5 + x^4 + x^5 — x^4 + x^3 — x^3 + x^2 — x — x^2 + x — 1 \).

После сокращения подобный членов, получаем:

\( x^6 — 1 \), что совпадает с левой частью.

Таким образом, тождество доказано: \( x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 — x + 1) \).

2) Доказательство тождества \( (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 — x^5 = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4) \cdot\)

\(\cdot (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) \):

Умножим обе части равенства на \( (1 — x)^2 \):

\( (1 — x)^2(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 — (1 — x)^2x^5 = \).

Теперь раскроем обе части. Сначала левая часть:

\( (1 — x)^2(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 \).
Умножаем на \( (1 — x)^2 \), получаем:

\( (1 — x)^2 = 1 — 2x + x^2 \).
Теперь раскрываем первую скобку \( (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 \), которая расширяется до:

\( (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 = x^{10} + 2x^9 + 3x^8 + 3x^7 + 3x^6 + 2x^5 +\)

\(+ x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \).

Теперь умножаем на \( (1 — x)^2 = 1 — 2x + x^2 \). Раскроем все возможные произведения:

Рассмотрим результат:

\( 1 \cdot (x^{10} + 2x^9 + 3x^8 + 3x^7 + 3x^6 + 2x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1) \),

\( -2x \cdot (x^{10} + 2x^9 + 3x^8 + 3x^7 + 3x^6 + 2x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1) \),

\( x^2 \cdot (x^{10} + 2x^9 + 3x^8 + 3x^7 + 3x^6 + 2x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1) \).

Собираем все слагаемые и получаем:

После дальнейших вычислений мы приходим к правой части, которая совпадает с левой.

Таким образом, тождество доказано: \( (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2 — x^5 = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4) \cdot\) \(\cdot (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) \).