ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 23.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Равны ли множества A и B, если:

1) A — множество корней уравнения |x| = x, B — множество неотрицательных чисео;

2) A — множество треугольников, у которых все углы равны; B — множество треугольников, у которых высоты совпадают с биссектрисами?

1) Так как \( |x| = x \Rightarrow x \ge 0 \), то:
\(A = B\).

2) \(A = B\).

1) \(A\) — множество корней уравнения \( |x| = x \), \(B\) — множество неотрицательных чисел:

Для начала решим уравнение \( |x| = x \).

Уравнение \( |x| = x \) выполняется, если \(x \ge 0\), так как по определению абсолютной величины для всех \(x \ge 0\) выполняется равенство \( |x| = x \). Если \(x < 0\), то \( |x| = -x \), и равенство не выполняется.

Следовательно, множество корней уравнения \( |x| = x \) состоит из всех неотрицательных чисел, то есть \( A = \{x | x \ge 0\} \). Таким образом, множество \(A\) совпадает с множеством неотрицательных чисел, то есть \( B = \{x | x \ge 0\} \).

Следовательно, множества \(A\) и \(B\) равны:

\(A = B\)

2) \(A\) — множество треугольников, у которых все углы равны, \(B\) — множество треугольников, у которых высоты совпадают с биссектрисами:

Рассмотрим множество \(A\), которое состоит из треугольников, у которых все углы равны. Если все углы треугольника равны, то это равнобедренный треугольник, в котором высоты совпадают с биссектрисами. Однако треугольник, у которого все углы равны, может быть только равносторонним, так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), и каждый угол должен быть \(60^\circ\). Следовательно, множество \(A\) состоит из всех равносторонних треугольников.

Теперь рассмотрим множество \(B\), которое состоит из треугольников, у которых высоты совпадают с биссектрисами. Это условие выполняется для равносторонних треугольников, так как в равностороннем треугольнике высоты и биссектрисы совпадают для всех сторон.

Таким образом, множество \(A\) (равносторонние треугольники) является подмножеством множества \(B\) (все треугольники, у которых высоты совпадают с биссектрисами). Но так как только равносторонние треугольники удовлетворяют обоим условиям, множества \(A\) и \(B\) равны:

\(A = B\)